1.2. Поверхность

Определения и обозначения

Поверхность — граница геометрического тела, отделяющая его от окружающего пространства. Она не является внутренним объёмом тела: поверхность мяча — его наружная оболочка, а не весь мяч. Это различие помогает точно говорить о форме предмета.

Граница тела — совокупность точек поверхности, которая ограничивает тело. Например, граница коробки образована точками её наружной оболочки. Понятие границы позволяет отличить точки, принадлежащие телу, от точек вне него.

Замкнутая поверхность полностью ограничивает тело и не имеет края или разрыва. Поверхность шара — знакомый пример такой оболочки. Замкнутость нужна, чтобы понять, окружает ли поверхность внутреннюю часть со всех сторон.

Плоскость — плоская поверхность, бесконечно продолжающаяся во все стороны. Её не следует смешивать с ограниченной плоской частью, например листом бумаги, у которого есть края. Это различие помогает не принимать модель геометрического объекта за сам объект.

Как это устроено

У предмета можно мысленно отделить наружную оболочку от того, что находится внутри. Поверхность мяча — это только его внешняя граница, а сам мяч включает ещё и внутреннюю часть. То же различие есть у коробки: её поверхность образована наружными сторонами, а объём находится внутри. Так мы описываем форму тела, не смешивая её с занимаемым им пространством.

Поверхность называют границей, потому что она разделяет пространство на две области. По одну её сторону расположены точки тела, а по другую — точки вне него. Если перемещаться изнутри наружу, то границу приходится пересечь. Поэтому поверхность указывает, где заканчивается тело и начинается окружающее пространство.

Замкнутая поверхность окружает тело без края: по ней нельзя дойти до места, где она просто обрывается. Например, поверхность шара ограничивает шар со всех сторон. У незамкнутой поверхности край можно обнаружить, обведя пальцем край листа бумаги или край открытой оболочки. Различие важно: только замкнутая поверхность полностью закрывает тело.

Плоскость бесконечна, поэтому у неё нет края, как у листа. Лист бумаги служит моделью лишь небольшого участка плоскости: его можно продолжить мысленно за пределы листа. Поверхность предмета, напротив, может иметь границу; например, плоская верхняя часть стола ограничена краями столешницы. Значит, плоскость и плоская часть поверхности — не одно и то же.

Поверхность может быть плоской или искривлённой. Столешница и грани куба дают примеры плоских поверхностей, а поверхность мяча или банки — искривлённых. Это зависит от формы оболочки, а не от того, из какого материала сделан предмет. Такое различение помогает описывать тела и их части.

Примеры поверхностей и их свойства

Сначала проверь, есть ли у поверхности край или разрыв: так можно определить, замкнута ли она. Затем сравни её форму с плоскостью: ровная поверхность плоская, а выгнутая или округлая — искривлённая. Строки таблицы показывают, что эти свойства нужно рассматривать отдельно.

Разбор задач

1. Мяч и коробка

Условие. Назови поверхность и тело, границей которого она является, для мяча и коробки. Нужно не назвать один и тот же объект дважды, а различить оболочку предмета и то, что она ограничивает.

1. У мяча выделяем наружную оболочку — поверхность мяча.
2. Тело, границей которого она служит, — мяч как объёмный предмет.
3. У коробки выделяем её наружные стороны вместе — поверхность коробки; она ограничивает тело-коробку.

Ответ. Поверхность мяча ограничивает мяч, а поверхность коробки ограничивает коробку. В каждом случае поверхность — только граница, не внутренний объём.

2. Замкнутые поверхности

Условие. Определи, какие объекты замкнуты: поверхность шара, лист бумаги, поверхность коробки. Чтобы решить задачу, проверь, окружает ли каждая поверхность тело полностью и есть ли у неё край.

1. Поверхность шара окружает шар со всех сторон и не имеет края.
2. У листа бумаги можно найти край, поэтому его поверхность незамкнута.
3. Оболочка коробки со всех сторон окружает её объём; при рассмотрении закрытой коробки это замкнутая поверхность.

Ответ. Замкнуты поверхность шара и поверхность закрытой коробки. Лист бумаги незамкнут, потому что у него есть край.

3. Плоскость, лист и куб

Условие. Сравни плоскость, лист бумаги и поверхность куба: укажи, что является поверхностью и какие объекты ограничены. Здесь важно различить бесконечную плоскость, её ограниченный участок и оболочку пространственного тела.

1. Плоскость сама является неограниченной плоской поверхностью, у неё нет края.
2. Лист бумаги — ограниченная часть плоскости: он плоский, но имеет край и не закрывает объёмное тело.
3. Поверхность куба — граница куба; она замкнута и состоит из плоских частей.

Ответ. Все три объекта связаны с поверхностями, но только поверхность куба ограничивает объёмное тело. Плоскость бесконечна, а лист — её ограниченная модель.

Типичные ошибки

Называть поверхностью всё тело — значит смешивать оболочку с внутренним объёмом. Такую ошибку допускают, потому что в быту словом «мяч» называют предмет целиком. Проверь себя вопросом: говоришь ли ты только о наружной границе или обо всём объёмном предмете?

Считать лист бумаги плоскостью целиком неверно: у листа есть края, а плоскость бесконечна. Путаница возникает потому, что лист удобно использовать как наглядную модель. Чтобы проверить ответ, мысленно продолжи его поверхность за края листа и отдели модель от геометрического объекта.

Нельзя считать любую поверхность замкнутой: поверхность листа или открытой оболочки имеет край либо разрыв. Обычно ошибку вызывает то, что предмет выглядит цельным, хотя его оболочка не закрывает тело со всех сторон. Проведи пальцем по поверхности: если можно добраться до края, она незамкнута.

Плоская поверхность и плоскость — разные понятия. Плоская поверхность может быть ограничена, тогда как плоскость продолжается бесконечно; путают их из-за общего признака «плоская». Проверь, есть ли у рассматриваемого объекта край: у части плоскости он есть, у плоскости — нет.

Связь с другими темами

Чтобы рассуждать о поверхности, полезно сначала различать геометрическое тело, его внутренние точки и точки вне него. Тогда легче понять, какие точки относятся к границе и что именно отделяет тело от пространства. Это представление понадобится при изучении многогранников, их граней и других геометрических тел. Грани можно рассматривать как плоские части поверхности многогранника.

Что запомнить

• Поверхность — граница тела.
• Поверхность не совпадает с объёмом тела.
• Замкнутая поверхность полностью ограничивает тело.
• У незамкнутой поверхности есть край или разрыв.
• Плоскость — неограниченная плоская поверхность.
• Поверхности бывают плоскими и искривлёнными.