1.3. Линия

Определения и обозначения

Линия — геометрическая фигура, состоящая из точек. Её удобно представлять как след движущейся точки: пока точка перемещается, она проходит через множество положений. Такое представление помогает увидеть линию не как полоску или штрих определённой толщины, а как набор точек.

Простая линия — линия, которая не пересекает сама себя. Это значит, что разные её части не накладываются друг на друга и не встречаются повторно в одной точке. Признак простоты помогает отличить обычный контур от линии, которая образует петли или пересечения.

Замкнутая линия — линия, у которой начало и конец совпадают. Примеры такого контура — окружность, контур треугольника или граница овального предмета. По этому признаку можно понять, образует ли линия непрерывный контур без свободных концов.

Точка пересечения линий — точка, принадлежащая обеим линиям. Если две линии встретились в точке A, то A лежит и на первой, и на второй линии. Определение позволяет отличить настоящее пересечение от случая, когда линии только близко проходят одна к другой.

Как это устроено

Линию рассматривают как множество точек, потому что при движении точка занимает разные положения, а все эти положения вместе образуют след. В самой линии нет промежутков между соседними точками: как бы близко ни выбрать две точки на ней, между ними можно найти ещё одну. На чертеже линию показывают тонким штрихом, но его толщина нужна только для того, чтобы изображение было видно. В геометрических рассуждениях имеют значение точки, составляющие линию, а не ширина нарисованного следа.

Прямая линия выглядит ровной и не имеет изгибов, а кривая меняет направление хотя бы на части своего пути. Например, край линейки можно представить прямой, а изгиб проволоки — кривой. Обе фигуры называют линиями, потому что каждая состоит из точек, расположенных непрерывно. Не следует считать, что кривая обязательно должна быть круглой: изгибы могут быть разными.

Чтобы определить, пересекаются ли две линии, нужно найти точку, которая лежит на обеих. Если такая точка есть, она и называется точкой пересечения; на чертеже её часто обозначают буквой. При пересечении линия не просто проходит рядом с другой, а действительно имеет с ней общий пункт. Поэтому при проверке полезно рассмотреть место сближения внимательнее: отсутствие общей точки означает, что пересечения нет.

Открытую и замкнутую линии различают по их концам. У открытой линии можно указать два разных конца, а у замкнутой движение по ней возвращает точку туда, откуда она начала путь. Например, дуга окружности с разными концами открыта, а полный круговой контур замкнут. При этом форма может быть какой угодно: признак зависит не от округлости или углов, а от того, совпали ли концы.

Простоту проверяют отдельно: прослеживают линию и смотрят, встречается ли она сама с собой. Контур треугольника простой, потому что его стороны соединяются только в соседних вершинах и не пересекаются внутри. Линия в форме восьмёрки самопересекается в середине, поэтому она не является простой. Петля без пересечений может быть простой и замкнутой одновременно: эти признаки отвечают на разные вопросы.

Виды линий и их признаки

Пользуйся таблицей, чтобы сравнить линии по одному признаку за раз: сначала посмотри на изгиб, затем — на возможность образовать замкнутый контур. Таблица описывает прямую и кривую линии, но сама по себе не отвечает, является ли линия простой или самопересекающейся. Эти свойства нужно проверять отдельно по виду всей линии.

Разбор задач

Задача 1

Условие. Определите, какие из изображённых фигур являются линиями: прямая, дуга, треугольник, круговая окружность. Нужно отличить контур от области, которую он может ограничивать. Рассматриваем именно перечисленные фигуры, а не закрашенные части плоскости.

1. Прямая состоит из точек, расположенных без изгиба, значит, это линия.
2. Дуга также состоит из точек, но меняет направление, поэтому это кривая линия.
3. Треугольник здесь понимается как его контур из трёх сторон, то есть линия. Если бы речь шла о закрашенной внутренней части, она не была бы линией.
4. Круговая окружность — замкнутый контур, состоящий из точек, поэтому тоже является линией.

Ответ: все четыре перечисленные фигуры являются линиями, если треугольник понимается как контур, а круговая окружность — как граница круга. Область внутри этих контуров линией не является.

Задача 2

Условие. На рисунке две линии пересекаются в одной точке. Требуется указать эту точку и назвать линии, которым она принадлежит. Обозначения линий и точки на рисунке могут быть любыми, поэтому рассуждаем по их взаимному расположению.

1. Найди место, где линии действительно встречаются, а не просто проходят близко друг к другу.
2. Назови общую точку буквой, указанной на рисунке, например A.
3. Проверь принадлежность: точка A лежит на первой линии и на второй, потому что обе проходят через неё.

Ответ: точка пересечения — A, если так она обозначена на рисунке. Она принадлежит обеим пересекающимся линиям; если на рисунке стоят другие обозначения, нужно назвать их вместо A.

Задача 3

Условие. Нужно классифицировать несколько линий по двум признакам: замкнутая или открытая, простая или самопересекающаяся. Здесь нельзя делать вывод по одному признаку: у линии одновременно могут быть характеристики из обеих пар. Поэтому каждый рисунок проверяем двумя отдельными действиями.

1. Проследи линию от начала до конца. Если конец совпал с началом, линия замкнутая; если нет — открытая.
2. Теперь проверь, пересекается ли линия сама с собой. Если разные её части имеют общую точку, она самопересекающаяся; если такого пересечения нет, она простая.
3. Запиши оба результата для каждой линии, например: замкнутая и простая или открытая и самопересекающаяся.

Ответ: классификация определяется двумя независимыми проверками. Например, окружность — замкнутая простая линия, а линия в форме восьмёрки — замкнутая самопересекающаяся; открытая дуга без пересечений — простая открытая линия.

Типичные ошибки

Считать линией всю область внутри контура. Так происходит, потому что на рисунке контур часто обводит закрашенную фигуру. Но линией является только граница из точек, а внутренняя область — часть плоскости. Проверь себя: представь, что закраску убрали, и уточни, остался ли только контур.

Принимать близкие линии за пересекающиеся. На маленьком или неаккуратном рисунке может казаться, что линии встретились. Однако пересечение есть лишь тогда, когда у них имеется общая точка. Увеличь участок или мысленно проследи каждую линию: если между ними остаётся промежуток, пересечения нет.

Считать любую замкнутую линию простой. Эти слова описывают разные свойства: замкнутость говорит о совпадении концов, а простота — об отсутствии самопересечений. Их легко спутать, потому что обычные контуры часто обладают обоими свойствами. Проверь отдельно, возвращается ли линия к началу и встречается ли она с самой собой по пути.

Путать прямую линию с отрезком. На рисунке обе фигуры могут выглядеть как ровный штрих, но отрезок имеет два конца, а прямая продолжается в обе стороны. Ошибка возникает, если судить только по видимой длине изображения. Проверь, обозначены ли концы: ограниченная ими часть прямой — отрезок, а не вся прямая.

Связь с другими темами

Перед изучением линии нужно уметь распознавать точку и прямую, а также понимать, что означает принадлежность точки фигуре. Эти знания помогают точно описывать пересечения: общая точка принадлежит каждой из пересекающихся линий. Представление о линиях пригодится при изучении отрезков и углов, а также многоугольников и их границ. Контур многоугольника можно рассматривать как линию, не смешивая его с областью внутри.

Что запомнить

• Линия состоит из точек.
• Линия может быть прямой или кривой.
• Пересекающиеся линии имеют общую точку.
• У замкнутой линии начало и конец совпадают.
• Простая линия не пересекает сама себя.
• Линия и ограниченная ею область — не одно и то же.