§ 3. Непрерывность основных элементарных функций

Определения и обозначения

Функция непрерывна в точке x₀, если она определена в этой точке и предел её значений при x → x₀ существует и равен значению функции: limₓ→ₓ₀ f(x) = f(x₀). Иными словами, при приближении аргумента к x₀ значения функции приближаются именно к f(x₀). Это условие позволяет проверить, согласуется ли поведение функции рядом с точкой с её значением в самой точке.

Функция непрерывна на промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка. Для промежутка с концами, входящими в него, на концах рассматривают односторонний предел, то есть приближение только со стороны промежутка. Такое определение помогает описать область, на которой функция ведёт себя без разрывов, а не проверять каждую точку отдельно.

Элементарная функция — функция, которую получают из основных функций с помощью арифметических действий и композиции, то есть подстановки одной функции в другую. Например, выражение sin(x² + 1) составлено из квадратичной функции и синуса. Понятие нужно, чтобы применять свойства непрерывности к сложным выражениям, предварительно проверив, что все их части определены.

Как это устроено

Определение непрерывности связано с графиком: если предел в точке совпадает со значением функции, то значения около x₀ приближаются к высоте f(x₀). Поэтому на графике нет разрыва именно в этой точке. Образ «график можно провести, не отрывая карандаш» полезен для интуиции, но точное доказательство опирается на предел и значение функции.

Многочлены непрерывны на всей числовой прямой, потому что их строят из функции y = x и постоянных, используя сложение и умножение. Эти исходные функции непрерывны, а сумма и произведение непрерывных функций также непрерывны. Значит, любое конечное выражение вида aₙxⁿ + … + a₁x + a₀ сохраняет непрерывность при любом действительном x.

Рациональная функция является частным двух многочленов. Частное непрерывных функций непрерывно в тех точках, где знаменатель не равен нулю: иначе деление невозможно и соответствующее значение не определено. Поэтому перед выводом о непрерывности нужно найти нули знаменателя, а остальные точки области определения можно считать точками непрерывности.

Показательная функция aˣ непрерывна на всей числовой прямой при a > 0 и a ≠ 1, а логарифмическая функция logₐ x непрерывна при x > 0. Логарифм определён только для положительного аргумента, поэтому его область непрерывности ограничена областью определения. Синус и косинус непрерывны на всей прямой: малое изменение x вызывает малое изменение их значений.

Тангенс и котангенс получаются как отношения синуса и косинуса, поэтому непрерывны там, где знаменатели этих отношений не равны нулю. У тангенса исключены x = π/2 + πk, у котангенса — x = πk, где k ∈ Z; непрерывность рассматривают на каждом промежутке области определения. Если непрерывные функции составить в композицию, результат тоже непрерывен, когда внутреннее значение допустимо для внешней функции.

Непрерывность основных элементарных функций

Таблица показывает область определения каждой функции и множество, где она непрерывна. Для рациональной и составной функции сначала проверьте ограничения области определения, а затем применяйте свойство непрерывности. Обозначение k ∈ Z означает, что k — любое целое число.

Разбор задач

Задача 1. Указать промежутки непрерывности функции f(x) = x³ − 2x + 1. Это многочлен, поэтому отдельные слагаемые определены при любом действительном x. Проверим, какое общее свойство сразу даёт ответ.

1. Замечаем, что f(x) составлена из степеней x и постоянного числа с помощью сложения и умножения.
2. Функция y = x непрерывна на ℝ, а эти действия сохраняют непрерывность.
3. Следовательно, многочлен непрерывен при каждом действительном x, то есть на всей числовой прямой.

Ответ: функция непрерывна на (−∞; +∞). Никаких точек из этой области исключать не нужно. Это следует не из вычисления предела в каждой точке, а из общего свойства многочленов.

Задача 2. Найти точки разрыва функции f(x) = (x + 1)/(x² − 4). Рациональная функция непрерывна во всех точках своей области определения. Поэтому сначала выясним, где знаменатель становится нулём.

1. Решаем уравнение x² − 4 = 0: разложение (x − 2)(x + 2) = 0 даёт x = 2 и x = −2.
2. В этих точках исходная функция не определена, значит, непрерывной там быть не может.
3. Во всех остальных точках знаменатель ненулевой, и рациональная функция непрерывна.

Ответ: точки разрыва — x = −2 и x = 2. Они делят область непрерывности на промежутки (−∞; −2), (−2; 2) и (2; +∞). Проверка числителя не отменяет исключения этих точек: исходное выражение всё равно содержит деление на ноль.

Задача 3. Найти промежутки непрерывности функции f(x) = ln(sin x). Здесь одна функция подставлена в другую: сначала вычисляется синус, затем логарифм. Для логарифма его аргумент должен быть строго положительным, поэтому это ограничение определяет область функции.

1. Записываем условие sin x > 0, так как ln u определён только при u > 0.
2. Синус положителен на промежутках (2πk; π + 2πk), где k ∈ Z; их объединение и есть область определения.
3. Синус непрерывен на ℝ, а логарифм непрерывен при положительном аргументе. Значит, композиция непрерывна на каждом из найденных промежутков.

Ответ: f непрерывна на (2πk; π + 2πk) при k ∈ Z. Концы промежутков не входят в область определения, поскольку там sin x = 0 и логарифм нуля не определён. Поэтому их нельзя добавлять к промежуткам непрерывности.

Типичные ошибки

Ошибка: считать функцию непрерывной в точке, где она не определена. Так бывает, когда проверяют только поведение выражения рядом с точкой и забывают, что значение самой функции тоже входит в определение. Перед поиском предела сначала подставьте точку в выражение и проверьте существование значения.

Ошибка: утверждать, что рациональная функция непрерывна на всей прямой, не проверив знаменатель. Поскольку рациональная функция — частное, в нулях знаменателя деление невозможно. Разложите знаменатель на множители или решите уравнение, приравняв его к нулю, и исключите найденные точки.

Ошибка: забывать ограничение аргумента логарифма. Например, запись ln(g(x)) имеет смысл только при g(x) > 0, а не при любом значении g(x). Для самопроверки сначала выпишите область определения всей композиции и лишь затем указывайте промежутки непрерывности.

Ошибка: переносить непрерывность композиции на точки, где внутренняя или внешняя функция не определена. Непрерывность каждой части применима только в её области определения, а значение внутренней функции должно подходить внешней. Проверяйте обе функции по очереди: найдите допустимые значения внутренней и затем наложите условия внешней.

Связь с другими темами

Для определения непрерывности нужен предел функции и понимание того, как он связан со значением функции в точке. Эти знания пригодятся при исследовании функций и поиске разрывов, а также при обосновании теорем о непрерывных функциях. Свойства непрерывности помогают анализировать графики и подготавливают к изучению производной: дифференцируемость функции в точке влечёт её непрерывность в этой точке.

Что запомнить

• Функция непрерывна в точке, если её предел в этой точке равен её значению.
• Многочлены непрерывны на всей числовой прямой.
• Рациональные функции непрерывны там, где знаменатель не равен нулю.
• Показательная функция непрерывна на всей числовой прямой.
• Логарифмическая функция непрерывна при положительном аргументе.
• Синус и косинус непрерывны на всей числовой прямой.
• Непрерывность композиции применима там, где определены обе функции.