§ 4. Непрерывность обратных функций

Определения и обозначения

Функция непрерывна в точке, если при приближении аргумента x к x₀ её значения f(x) приближаются к f(x₀). Иначе говоря, сколь угодно малому изменению аргумента около этой точки соответствует сколь угодно малое изменение значения функции. Непрерывность позволяет говорить о плавном изменении функции, без скачка в рассматриваемой точке.

Строго монотонная функция на выбранном промежутке только возрастает или только убывает: если x₁ < x₂, то значения функции строго упорядочены в том же или обратном направлении. Поэтому два разных аргумента не могут дать одно и то же значение. Это свойство нужно, чтобы по результату функции однозначно восстановить аргумент.

Обратная функция исходной функции f каждому её значению y сопоставляет единственный x, для которого f(x) = y; её обозначают f⁻¹. Индекс −1 здесь не означает возведение в степень: это обозначение обратной функции. Она меняет местами роли аргумента и значения исходной функции.

Образ промежутка — множество всех значений, которые функция принимает на этом промежутке. Именно эти значения становятся допустимыми аргументами обратной функции. Поэтому область определения f⁻¹ не обязательно совпадает с областью определения f: она равна образу выбранного промежутка.

Как это устроено

Чтобы обратная функция существовала, каждому значению исходной функции нужно сопоставить ровно один аргумент. Если на выбранном промежутке функция не является взаимно однозначной, разные x могут дать одно и то же y, и тогда при обращении одному аргументу соответствовало бы несколько значений. Строгая монотонность исключает такую ситуацию. Поэтому функцию рассматривают на промежутке, где она строго возрастает или строго убывает.

Непрерывная строго монотонная функция переводит промежуток в промежуток, то есть принимает все промежуточные значения между своими значениями. Действительно, если на промежутке функция принимает значения ниже и выше некоторого числа, непрерывность не позволяет ей «перепрыгнуть» через это число. Строгая монотонность при этом не даёт одному значению встретиться дважды. В результате значения заполняют весь образ без пропусков, и на каждом из них можно определить обратную функцию.

Основное утверждение темы таково: если функция непрерывна и строго монотонна на промежутке, то её обратная функция непрерывна на образе этого промежутка. Интуитивно, если значения исходной функции меняются плавно и без повторов, то при небольшом изменении значения соответствующий аргумент также не может внезапно перескочить далеко. Условия теоремы нужны вместе: монотонность обеспечивает однозначность обращения, а непрерывность исходной функции гарантирует непрерывность обратной.

График обратной функции получается из графика исходной отражением относительно прямой y = x. Точка (a; b) на графике f переходит в точку (b; a) на графике f⁻¹, потому что в обратной функции аргументом становится прежнее значение. Если исходный график идёт непрерывно на выбранном промежутке, его отражённая часть также идёт непрерывно на соответствующем образе. Например, графики y = eˣ и y = ln x симметричны относительно y = x.

Теорема не утверждает, что обратная функция непрерывна на всей числовой прямой. Она гарантирует непрерывность только на образе того промежутка, где исходная функция непрерывна и строго монотонна. За пределами образа обратная функция может быть не определена. Поэтому вместе с выводом всегда указывают промежуток рассмотрения и область определения обратной функции.

Условия существования и непрерывности обратной функции

Пользуйся таблицей как цепочкой условий: сначала проверь строгую монотонность, затем непрерывность исходной функции. После этого найди образ выбранного промежутка — именно на нём определена и непрерывна обратная функция.

Разбор задач

Задача 1

Функция f(x) = 2x + 1 задана на [0; 3]. Найдём обратную функцию и укажем, где она непрерывна. Сначала определим, какие значения принимает исходная функция, а затем выразим исходный аргумент через значение. Линейная функция непрерывна и строго возрастает, поэтому к ней применима теорема.

1. На концах промежутка f(0) = 1, f(3) = 7. Поскольку функция возрастает, её образ равен [1; 7].
2. Запишем y = 2x + 1 и выразим x: x = (y − 1)/2. Поменяв обозначение аргумента, получаем f⁻¹(x) = (x − 1)/2.
3. Область определения обратной функции — [1; 7]. По теореме обратная непрерывна на этом образе.

Ответ: f⁻¹(x) = (x − 1)/2; функция непрерывна на [1; 7].

Задача 2

Функция f(x) = x² задана на [0; 4]. Нужно найти обратную и её область определения. На всей числовой прямой квадрат не является строго монотонным, но здесь рассматривается только неотрицательный промежуток. На нём x² строго возрастает, поэтому обратную функцию можно построить.

1. Найдём образ: при x от 0 до 4 значения x² меняются от 0 до 16. Значит, образ — [0; 16].
2. Из y = x² при x ≥ 0 получаем x = √y. Условие x ≥ 0 важно: оно выбирает нужную ветвь корня.
3. Следовательно, f⁻¹(x) = √x, а её область определения равна образу исходного промежутка, то есть [0; 16].

Ответ: f⁻¹(x) = √x; область определения — [0; 16].

Задача 3

Функция f(x) = x² задана на [−2; 2]. Проверим, существует ли обратная на всём этом промежутке. Например, аргументы −1 и 1 различны, но оба дают значение 1. Значит, по одному значению функции нельзя однозначно определить исходный аргумент.

1. Функция не строго монотонна на [−2; 2]: сначала убывает, а затем возрастает.
2. На этом промежутке она не взаимно однозначна, поэтому обратной функцией на всём [−2; 2] быть не может.
3. Ограничим исходную функцию, например, промежутком [0; 2]. Там x² строго возрастает и обратная функция равна √x. Подойдёт и промежуток [−2; 0], где функция строго убывает.

Ответ: на [−2; 2] обратная функция не существует; можно ограничить функцию промежутком [0; 2] или [−2; 0].

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что непрерывности исходной функции достаточно для существования обратной. Её допускают, потому что смешивают непрерывность и однозначность: непрерывная функция может принимать одно значение при разных аргументах. Проверь себя, сравнив значения функции в двух разных точках; например, у x² при x = −1 и x = 1 значения совпадают.

Ещё одна ошибка — не указывать промежуток, на котором функция строго монотонна. Без него нельзя понять, для какой части графика строится обратная функция и однозначно ли она определена. Перед обращением проверь монотонность именно на указанном промежутке; если её нет, выбери подходящее ограничение.

Не путай область определения обратной функции с областью определения исходной. Причина путаницы — перестановка ролей x и y: после обращения допустимыми аргументами становятся значения исходной функции. Чтобы проверить себя, сначала вычисли образ исходного промежутка, затем запиши его как область определения f⁻¹.

Неверно утверждать, что обратная функция непрерывна на всей числовой прямой. Теорема относится лишь к образу промежутка, на котором исходная функция непрерывна и строго монотонна. Сверь область, для которой делаешь вывод, с найденным образом; например, для x² на [0; 4] обратная √x определена только на [0; 16].

Связь с другими темами

Для изучения темы понадобятся определения непрерывности, промежутка, возрастания и убывания функции. Также нужно уметь находить область определения и множество значений, а при поиске обратной — выражать одну переменную через другую. Эти навыки помогают проверять условия теоремы и точно задавать область определения результата.

Свойства обратных функций используются при изучении обратных тригонометрических функций, например arcsin и arctg. Идея непрерывности обратной также помогает исследовать сложные функции, составленные из нескольких функций. В таких задачах важно определить область, на которой выполнены условия для каждого шага.

Что запомнить

• Строгая монотонность обеспечивает существование обратной функции.
• Обратная функция определена на образе исходного промежутка.
• Непрерывная строго монотонная функция имеет непрерывную обратную.
• Непрерывность обратной функции рассматривают на образе исходного промежутка.
• Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой y = x.