§ 5. Некоторые применения монотонности и непрерывности

Определения и обозначения

Функция возрастает на промежутке, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции: для любых x₁ и x₂ из промежутка при x₁ < x₂ выполняется f(x₁) < f(x₂). Если вместо этого всегда верно f(x₁) > f(x₂), функция убывает. Такие функции называют строго монотонными. Это свойство нужно, чтобы сравнивать значения функции и доказывать, что одно и то же значение она не может принять дважды.

Функция непрерывна на промежутке, если её график не имеет на нём разрывов; формально малому изменению аргумента соответствует сколь угодно малое изменение значения функции. В задачах о корнях особенно важно следствие непрерывности: если f(a) и f(b) разных знаков, то между a и b найдётся число c, для которого f(c) = 0. Это позволяет доказать существование решения, не вычисляя его точно.

Корнем уравнения f(x) = 0 называют такое значение x, при котором равенство выполняется. Чтобы исследовать уравнение f(x) = g(x), его часто преобразуют к виду h(x) = 0, где h(x) = f(x) − g(x). Тогда существование и количество решений можно изучать по непрерывности и монотонности одной функции h, а не сравнивать два графика по отдельности.

Как это устроено

Теорема о промежуточных значениях объясняет, почему смена знака у непрерывной функции гарантирует корень. Если, например, f(a) < 0, а f(b) > 0, функция при переходе от a к b не может перескочить с отрицательных значений на положительные, не приняв значение 0. Поэтому уравнение f(x) = 0 имеет хотя бы одно решение внутри интервала (a; b). Условие непрерывности здесь принципиально: у разрывной функции смена знака может произойти скачком.

Для единственности решения нужно дополнительное условие. Если функция строго возрастает или строго убывает, то каждому значению она соответствует не более одного аргумента. Поэтому уравнение f(x) = 0 не может иметь два разных корня на промежутке строгой монотонности: при движении между ними значения функции должны были бы измениться, хотя на обоих концах они равны нулю. Вместе непрерывность и строгая монотонность позволяют заключить, что найденный корень существует и он ровно один.

Эти рассуждения применяются и к уравнению f(x) = g(x). Переносят всё в одну сторону и вводят h(x) = f(x) − g(x); решения исходного уравнения становятся корнями h. Затем выбирают подходящий промежуток: проверяют, что h непрерывна, а её значения на концах имеют разные знаки. Если на этом промежутке h ещё и строго монотонна, можно сразу доказать единственность решения.

Монотонность также помогает устанавливать неравенства и оценивать корни. Если функция возрастает, то из x₁ < x₂ следует f(x₁) < f(x₂), поэтому сравнение аргументов переносится на сравнение значений. Чтобы локализовать корень, подбирают границы a и b, на которых значения функции имеют разные знаки; корень оказывается между ними. Чем уже интервал, тем точнее такая оценка, хотя точное значение корня может остаться неизвестным.

Как доказывать существование и единственность корня

Пользуйся таблицей как планом доказательства: сначала выбери промежуток и проверь непрерывность, затем установи знаки на его концах. Для единственности отдельно обоснуй строгую монотонность на всём промежутке, а не только в отдельных точках. Если знак не меняется или функция не монотонна, эти условия не дают нужного вывода.

Разбор задач

Задача. Докажем, что уравнение x³ + x − 1 = 0 имеет ровно один корень на отрезке [0; 1]. Точное значение корня заранее неизвестно, поэтому цель — установить его существование и количество, а не решить уравнение вычислениями. Обозначим левую часть через f(x) = x³ + x − 1 и исследуем её на выбранном отрезке.

1. Проверим непрерывность. Функция f является суммой степенных функций и постоянной, поэтому непрерывна при всех действительных x, в частности на [0; 1]. Это позволяет применять теорему о промежуточных значениях.
2. Вычислим значения на концах: f(0) = −1, f(1) = 1. Они имеют разные знаки, так что непрерывная функция между этими точками принимает значение 0. Следовательно, уравнение имеет хотя бы один корень на (0; 1).
3. Докажем строгую монотонность без необходимости искать производную: если 0 ≤ x₁ < x₂ ≤ 1, то x₂³ > x₁³ и одновременно x₂ > x₁. Поэтому x₂³ + x₂ − 1 > x₁³ + x₁ − 1, то есть f(x₂) > f(x₁).
4. Так как f строго возрастает, она не может принимать значение 0 при двух разных аргументах. Значит, уже существующий корень единственный. Здесь важно разделять два вывода: смена знака дала существование, а монотонность — единственность.

Ответ: уравнение x³ + x − 1 = 0 имеет ровно один корень на отрезке [0; 1]. Мы доказали, что корень лежит внутри этого отрезка, но не нашли его точное значение. Для приближённого ответа можно затем сужать интервал, проверяя знаки функции в новых границах.

Типичные ошибки

• Делать вывод о корне по одной лишь смене знака, не проверив непрерывность. Так поступают, потому что график привычных функций часто мысленно считают непрерывным, однако у дробной функции, например, в точках разрыва это неверно. Проверь область определения и непрерывность на всём промежутке, включая точки между его концами.

• Считать, что смена знака доказывает единственность. Она гарантирует только наличие хотя бы одного корня, а корней может быть несколько. Для проверки отдельно установи строгую монотонность или найди другой аргумент, исключающий несколько решений.

• Обосновывать монотонность сравнением функции лишь в концах отрезка. Значения на концах не показывают, как функция ведёт себя внутри, где она может менять направление. Проверь определение для любых x₁ < x₂ или используй известный признак монотонности на всём промежутке.

• Путать приближённое значение с доказательством. Подстановка десятичного числа может показать, что корень находится рядом, но не подтверждает его существование и единственность. Сначала докажи эти свойства, а затем уточняй положение корня с помощью знаков на концах более узкого интервала.

Связь с другими темами

Исследование монотонности связано с производной: знак производной на промежутке часто позволяет доказать, что функция возрастает или убывает. При изучении непрерывности используется поведение графика и свойства элементарных функций; теорема о промежуточных значениях опирается именно на непрерывность. Преобразование уравнения к виду h(x) = 0 соединяет эти идеи с обычными способами решения уравнений. Оценка корня на отрезке затем помогает находить его приближённо численными методами.

Что запомнить

• Непрерывная функция, значения которой на концах отрезка имеют разные знаки, имеет внутри отрезка хотя бы один корень.
• Строго монотонная функция принимает каждое значение не более одного раза.
• Непрерывность и строгая монотонность вместе со сменой знака доказывают существование ровно одного корня.
• Уравнение f(x) = g(x) удобно свести к h(x) = 0, где h(x) = f(x) − g(x).
• Наличие корня и его единственность — разные утверждения, для них нужны отдельные обоснования.