§ 1. Основные свойства сферы и шара

Определения и обозначения

Сфера — множество точек пространства, находящихся на заданном расстоянии от одной точки. Эта точка называется центром сферы O, а расстояние до любой точки сферы — её радиусом R. Значит, сфера является только поверхностью, а не всем объёмным телом.

Шар — множество точек пространства, расстояние от которых до центра не превышает радиус: OP ≤ R. В шар входят и поверхность, и все точки внутри неё. Поэтому сфера — граница шара, а шар — заполненная область.

Большой круг — сечение сферы плоскостью, проходящей через её центр. Его радиус равен радиусу сферы R, потому что центр окружности сечения совпадает с центром сферы. Такое сечение имеет максимально возможный радиус.

Касательная плоскость к сфере в точке A — плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку A. Точка A называется точкой касания. Радиус OA, проведённый в неё, перпендикулярен касательной плоскости.

Как это устроено

Пусть сфера с центром O пересекается плоскостью α, а H — проекция O на α. Для любой точки A окружности сечения отрезок OA равен R, а отрезок OH одинаков для всей плоскости. Треугольник OHA прямоугольный, поэтому HA² = OA² − OH² = R² − d². Все точки A имеют одинаковое расстояние HA от H, значит, сечение является окружностью с центром H.

Расстояние d от центра до плоскости определяет, сможет ли плоскость достичь сферы. При d < R отрезок от центра до плоскости короче радиуса, поэтому плоскость проходит через внутреннюю область и пересекает сферу по окружности. При d = R плоскость достигает поверхности в единственной точке, а при d > R не достигает её вовсе.

Радиус r окружности сечения, расстояние d и радиус сферы R образуют прямоугольный треугольник. Гипотенузой в нём служит радиус сферы, а катетами — расстояние от центра до плоскости и радиус сечения. По теореме Пифагора R² = d² + r², откуда r = √(R² − d²).

Если плоскость проходит через центр, то d = 0, и формула даёт r = √R² = R. Поэтому такое сечение называют большим кругом: его радиус не может быть больше радиуса самой сферы. При удалении плоскости от центра величина d растёт, а радиус сечения уменьшается.

В точке касания A радиус OA перпендикулярен касательной плоскости α. Действительно, наклон радиуса к α означал бы, что рядом с A есть точки плоскости, расположенные от O на расстоянии меньше R; тогда плоскость пересекала бы сферу по окружности. Поэтому проверка условия OA ⟂ α позволяет установить касание: если A принадлежит сфере и плоскость через A перпендикулярна OA, она касательная.

Расположение плоскости относительно сферы

Сначала сравните расстояние d с радиусом R, а затем выберите строку таблицы. Если плоскость проходит через центр, это частный случай d = 0 и получается большое сечение. Для обычного пересечения радиус окружности находят по формуле r = √(R² − d²).

Разбор задач

Задача 1

Условие: радиус сферы равен 5 см, расстояние от её центра до плоскости — 3 см. Найдите радиус окружности сечения. Поскольку 3 < 5, плоскость действительно пересекает сферу.

1. Обозначим радиус сечения через r и используем формулу r² = R² − d².
2. Подставим значения: r² = 5² − 3² = 25 − 9 = 16.
3. Извлечём положительный квадратный корень: r = 4 см.

Ответ: 4 см.

Задача 2

Условие: сфера радиуса 10 см пересечена плоскостью по окружности радиуса 6 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости. Наличие окружности уже означает, что искомое расстояние меньше радиуса.

1. В прямоугольном треугольнике радиус сферы — гипотенуза, поэтому d² = R² − r².
2. Подставим данные: d² = 10² − 6² = 100 − 36 = 64.
3. Берём неотрицательное значение расстояния: d = 8 см. Проверка 8 < 10 подтверждает, что пересечение возможно.

Ответ: 8 см.

Задача 3

Условие: сфера задана уравнением x² + y² + z² = 25. Определите, как плоскость z = 3 пересекает сферу, и найдите радиус сечения. Нужно сначала распознать центр и радиус по уравнению.

1. Уравнение имеет вид x² + y² + z² = R², значит, центр сферы O(0; 0; 0), а R = 5.
2. Расстояние от O до плоскости z = 3 равно 3, поскольку плоскость параллельна координатной плоскости xy.
3. Так как 3 < 5, пересечение является окружностью, причём r = √(5² − 3²) = √16 = 4.

Ответ: плоскость пересекает сферу по окружности радиуса 4.

Типичные ошибки

Считать сферу и шар одним и тем же. Ошибка возникает из-за бытового употребления слова «шар» для обозначения поверхности. Проверяйте условие: для сферы OP = R, а для шара OP ≤ R.

Путать радиусы сферы и сечения. Они совпадают только при прохождении плоскости через центр. Перед вычислением найдите d: если d ≠ 0, радиус сечения меньше R.

Складывать квадраты в формуле. Радиус сферы является гипотенузой, поэтому r² = R² − d², а не сумма. Проверьте результат: радиус сечения не может быть больше R.

Называть плоскость касательной при d < R. При таком условии плоскость пересекает сферу по окружности. Касание проверяют равенством d = R и наличием единственной общей точки.

Связь с другими темами

Для работы со сферой нужны расстояние между точками, перпендикуляр от точки к плоскости и теорема Пифагора. Эти знания позволяют выводить формулу радиуса сечения, а не заучивать её отдельно.

Сечения сферы связаны с темами о телах вращения, площадях и объёмах. По радиусу сечения можно исследовать сферические части и вычислять их характеристики.

Перпендикулярность радиуса касательной плоскости помогает решать задачи о взаимном расположении прямой, плоскости и сферы, а также доказывать касание.

Что запомнить

• Сфера — граница шара; шар включает свою внутреннюю область.
• При d < R сечение сферы плоскостью является окружностью.
• Радиус окружности сечения равен √(R² − d²).
• Плоскость через центр даёт большой круг радиуса R.
• При d = R плоскость касается сферы в одной точке.
• При d > R плоскость не пересекает сферу.
• Радиус к точке касания перпендикулярен касательной плоскости.