"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия (базовый и углублённый уровни)", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Описанная около многогранника сфера проходит через все его вершины. Её центр равноудалён от каждой вершины, а радиус равен расстоянию от центра до любой из них. В параграфе разбирают, когда такая сфера существует, где расположен её центр у призм и пирамид и как находить радиус через высоту многогранника и радиус описанной окружности основания. Эти сведения позволяют решать задачи о кубах, призмах и правильных пирамидах.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Описанная около многогранника сфера — сфера, на которой лежат все вершины многогранника. Иными словами, каждая вершина находится от центра сферы на одном и том же расстоянии. Это определение помогает отличить описанную сферу от сферы, которая касается только некоторых рёбер или граней.
Центр описанной сферы — точка, равноудалённая от всех вершин многогранника. Если обозначить её буквой O, то для любых вершин A, B, C выполняется OA = OB = OC. Поиск этой точки является главным шагом при доказательстве существования сферы и вычислении её радиуса.
Радиус описанной сферы — расстояние от её центра до любой вершины многогранника. Обычно его обозначают буквой R, поэтому R = OA = OB = OC. Зная положение центра или подходящий прямоугольный треугольник, радиус можно найти через теорему Пифагора.
Описанная окружность основания — окружность, проходящая через все вершины многоугольника. Её центр и радиус позволяют перенести задачу из плоскости основания в пространство. Если такая окружность существует, она часто помогает проверить, можно ли описать сферу около призмы или пирамиды.
Чтобы сфера проходила через две вершины A и B, её центр должен быть равноудалён от них. Множество таких точек образует плоскость, перпендикулярную AB и проходящую через середину этого отрезка. Поэтому для всех вершин центр ищут на пересечении нескольких подобных плоскостей; если общей точки нет, описать сферу нельзя.
У треугольной пирамиды основание — треугольник, а около любого треугольника можно провести описанную окружность. Центр будущей сферы должен находиться на прямой, перпендикулярной плоскости основания и проходящей через центр этой окружности, потому что только на этой прямой расстояния до трёх вершин основания одинаковы. При движении по прямой расстояние до вершин основания меняется, поэтому можно выбрать точку, у которой оно совпадёт с расстоянием до вершины пирамиды.
У прямой призмы соответствующие вершины двух оснований соединены рёбрами, перпендикулярными основаниям. Если около основания нельзя описать окружность, то не существует точки, равноудалённой от всех вершин даже в одной плоскости основания. Если окружность есть, её центр задаёт перпендикуляр, а центр сферы располагается на нём; для двух равных оснований он находится посередине высоты призмы.
В правильной пирамиде вершины основания равноправны относительно его центра. Точка, равноудалённая от всех этих вершин, должна лежать на перпендикуляре к основанию через его центр, а эта прямая и есть ось пирамиды. Затем положение центра находят из равенства расстояний до вершины основания и до вершины пирамиды, после чего вычисляют радиус.
| Многогранник | Условие существования | Положение центра | Связь радиуса сферы с элементами |
|---|---|---|---|
| Треугольная пирамида | Сфера существует для любой треугольной пирамиды. | На перпендикуляре к основанию через центр его описанной окружности. | R² = r² + x², где r — радиус окружности основания, x — расстояние до её плоскости. |
| Прямая призма | Около основания можно описать окружность. | На перпендикуляре к основанию через центр этой окружности; для равных оснований — на середине высоты. | R² = r² + (h/2)². |
| Правильная пирамида | Основание имеет описанную окружность, что выполняется для правильного многоугольника. | На оси пирамиды. | R² = r² + (h − x)² или R² = r² + x² — в зависимости от выбранного основания и положения центра. |
Таблица помогает сначала проверить существование сферы, а затем выбрать линию, на которой искать центр. После этого достаточно выразить расстояния до двух типов вершин и приравнять их. В формулах h обозначает высоту, r — радиус описанной окружности основания, а R — радиус сферы.
Задача 1. Найдите радиус сферы, описанной около куба с ребром a. У куба все вершины лежат на одной сфере, а её центр совпадает с точкой пересечения диагоналей. Значит, пространственная диагональ куба является диаметром сферы.
Задача 2. Основание правильной четырёхугольной пирамиды имеет сторону a, а высота равна h. Найдите радиус описанной сферы. Центр сферы лежит на оси пирамиды, но его положение заранее неизвестно. Поэтому обозначим расстояние от центра до плоскости основания через x.
Задача 3. Можно ли описать сферу около прямой призмы, основание которой — прямоугольник со сторонами a и b; найдите радиус при высоте h. Прямоугольник имеет описанную окружность, потому что его диагонали равны и пересекаются в одной точке. Значит, условие существования выполнено.
Считают достаточным, чтобы сфера проходила через несколько вершин. Так происходит, когда проверяют только удобные точки и забывают остальные. Проверьте расстояние от предполагаемого центра до каждой вершины, а не только до вершин основания.
Полагают, что около любой призмы можно описать сферу. Ошибка возникает из-за смешения свойств прямой призмы и произвольной; даже для прямой призмы нужна описанная окружность основания. Сначала исследуйте основание и убедитесь, что все его вершины лежат на одной окружности.
Путают радиус сферы с радиусом окружности основания и не учитывают высоту. Эти величины относятся к разным объектам, а пространственный радиус обычно является гипотенузой. Проверьте, образуют ли они прямоугольный треугольник, и примените теорему Пифагора.
Неверно задают положение центра сферы у правильной пирамиды. Центр действительно лежит на оси, но не обязательно совпадает с центром основания: он может находиться выше или ниже него. После выбора точки на оси приравняйте расстояния до вершины основания и вершины пирамиды.
Для изучения темы нужны определение сферы, расстояние от точки до плоскости и свойство множества точек, равноудалённых от концов отрезка. Также используются свойства описанной окружности треугольника и четырёхугольника, а главным вычислительным инструментом служит теорема Пифагора.
Эти знания пригодятся при нахождении радиусов сфер около правильных многогранников. Они также помогают решать задачи о взаимном расположении сфер и многогранников, когда требуется сравнить расстояния, высоты и радиусы окружностей.
Что значит описать сферу около многогранника?
Это значит найти сферу, на которой лежат все вершины многогранника. Поэтому расстояния от центра сферы до всех вершин должны быть одинаковыми.
Как найти центр описанной сферы?
Центр ищут как точку, равноудалённую от всех вершин. Для этого используют плоскости, перпендикулярные отрезкам между парами вершин и проходящие через их середины.
Можно ли описать сферу около любой призмы?
Нет. Для прямой призмы это возможно тогда и только тогда, когда около её основания можно описать окружность. У произвольной призмы дополнительные условия могут быть ещё строже.
Где находится центр сферы, описанной около правильной пирамиды?
Он лежит на оси правильной пирамиды, то есть на прямой, проходящей через вершину и центр основания. При этом центр сферы не обязан совпадать с центром основания.
Как связаны радиус описанной сферы и высота многогранника?
Они часто входят в один прямоугольный треугольник вместе с радиусом описанной окружности основания. Поэтому радиус сферы находят по теореме Пифагора или из равенства расстояний.
§ 2. Описанные сферы
