§ 3. Сферы, касающиеся плоскостей

Определения и обозначения

Сфера, касающаяся плоскости, — сфера, имеющая с плоскостью ровно одну общую точку. Это означает, что плоскость не проходит внутрь сферы и не удалена от неё настолько, чтобы общих точек не было. Такое определение позволяет распознавать касание по числу общих точек.

Касательная плоскость к сфере — плоскость, имеющая со сферой ровно одну общую точку. Она играет для сферы такую же роль, как касательная прямая для окружности. С её помощью описывают положение сферы около поверхности и решают задачи на касание.

Точка касания — единственная общая точка сферы и касательной плоскости. Обычно её обозначают буквой T. Она нужна, чтобы связать геометрические свойства плоскости с радиусом OT.

Расстояние от центра сферы до плоскости — длина перпендикуляра, опущенного из центра на эту плоскость. Если O — центр, а H — основание перпендикуляра, расстояние равно OH. Именно его, а не расстояние до произвольной точки плоскости, сравнивают с радиусом.

Как это устроено

Положение плоскости относительно сферы определяется расстоянием d от центра сферы до плоскости и радиусом R. Сфера состоит из точек, удалённых от центра на R, поэтому плоскость сможет встретить сферу, только если её точки находятся на подходящем расстоянии от центра. Так сравнение d и R сразу показывает взаимное расположение объектов.

Если d = R, ближайшая к центру точка плоскости находится ровно на поверхности сферы. Все остальные точки плоскости удалены от центра больше, поэтому на сфере остаётся только одна общая точка. Если d < R, плоскость проходит через внутреннюю область сферы и пересекает её по окружности.

Основание перпендикуляра из центра на плоскость является точкой касания, потому что это ближайшая к центру точка плоскости. При d = R она лежит на сфере. Радиус, соединяющий центр с этой точкой, совпадает с перпендикуляром к плоскости, поэтому радиус в точку касания перпендикулярен касательной плоскости.

Чтобы проверить касание или найти неизвестный параметр, сначала находят расстояние от центра до плоскости. Затем используют условие d = R и решают полученное уравнение. Для двух параллельных плоскостей центр сферы, касающейся обеих, должен иметь одинаковые расстояния до них; если плоскости находятся по разные стороны сферы, эти расстояния равны R, а расстояние между плоскостями равно 2R.

Взаимное расположение сферы и плоскости

Чтобы пользоваться таблицей, сначала вычислите расстояние d от центра сферы до плоскости. Затем сравните его с радиусом R и выберите соответствующую строку.

При d < R общая часть является окружностью, а не всей плоскостью или отдельной точкой. Равенство d = R — единственный случай касания.

Разбор задач

Задача 1

Условие: радиус сферы равен 5 см, расстояние от её центра до плоскости — 5 см. Определить взаимное расположение сферы и плоскости.

1. Обозначим радиус через R = 5 см, а расстояние до плоскости через d = 5 см.
2. Сравниваем величины: d = R.
3. По признаку касания заключаем, что плоскость имеет со сферой ровно одну общую точку.

Ответ: плоскость касается сферы.

Задача 2

Условие: сфера задана уравнением (x − 1)² + (y + 2)² + (z − 3)² = 25. Определить, касается ли она плоскости z = 7, и найти точку касания, если она существует.

1. Из уравнения получаем центр O(1; −2; 3) и радиус R = √25 = 5.
2. Плоскость z = 7 горизонтальна, поэтому расстояние от центра до неё равно |3 − 7| = 4.
3. Так как d = 4 < 5 = R, плоскость пересекает сферу по окружности. Условие касания не выполнено, поэтому точки касания нет.

Ответ: плоскость не касается сферы, а пересекает её по окружности; точки касания не существует.

Задача 3

Условие: расстояние между двумя параллельными плоскостями равно 14 см. Сфера радиуса 7 см касается обеих плоскостей. Определить, где может находиться её центр.

1. Расстояние между плоскостями равно 14 см, а два радиуса составляют 2R = 2 · 7 = 14 см.
2. Значит, сфера помещается между плоскостями так, что каждый радиус до плоскости равен 7 см.
3. Центр должен быть равноудалён от обеих плоскостей, то есть лежать в средней плоскости между ними. Его положение внутри этой средней плоскости может меняться.

Ответ: центр находится в плоскости, расположенной посередине между данными плоскостями; любая точка этой плоскости может быть центром.

Типичные ошибки

Ошибка: считать любое пересечение касанием. Её допускают, потому что и при касании, и при пересечении есть общие точки. Проверьте условие d = R: при d < R общая часть является окружностью.

Ошибка: заменять расстояние от центра до плоскости расстоянием до произвольной точки плоскости. Такое расстояние зависит от выбранной точки и не является минимальным. Ищите именно перпендикуляр из центра на плоскость.

Ошибка: искать точку касания без использования перпендикуляра радиуса. Из-за этого можно выбрать любую точку плоскости. Проверьте, что точка лежит на сфере, а радиус к ней перпендикулярен плоскости.

Ошибка: забывать делитель в формуле расстояния до плоскости. Для плоскости ax + by + cz + e = 0 нужно вычислять d = |ax₀ + by₀ + cz₀ + e| / √(a² + b² + c²). Если не разделить на длину нормали, результат обычно не будет расстоянием.

Связь с другими темами

Для этой темы нужно уметь находить расстояние от точки до плоскости и понимать свойство перпендикуляра: он задаёт кратчайшее расстояние. Эти знания позволяют вычислять d как по чертежу, так и по уравнению плоскости.

Признак касания используется в задачах на взаимное расположение геометрических тел и при построении сфер, касающихся нескольких плоскостей. В задачах с параллельными плоскостями он приводит к условию равноудалённости центра.

Что запомнить

• Плоскость касается сферы тогда и только тогда, когда расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу.
• Точка касания — основание перпендикуляра, опущенного из центра сферы на касательную плоскость.
• Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной плоскости.
• При d < R плоскость пересекает сферу по окружности.
• При d > R плоскость и сфера не имеют общих точек.
• Центр сферы, касающейся двух параллельных плоскостей по разные стороны, находится посередине между ними.