§ 4. Сферы, касающиеся прямых

Определения и обозначения

Сфера, касающаяся прямой, имеет с ней ровно одну общую точку. Радиус, проведённый из центра в эту точку, перпендикулярен прямой. Это определение позволяет заменить вопрос о пересечении сферы и прямой удобным условием на расстояние.

Расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Перпендикуляр короче любого другого отрезка от этой точки до прямой. Поэтому расстояние удобно использовать, когда нужно проверить, касается ли прямая сферы.

Точка касания сферы и прямой — их единственная общая точка. Радиус, соединяющий её с центром сферы, перпендикулярен касательной прямой. По этой точке можно восстановить радиус и проверить расположение центра.

Поверхность цилиндра с осью, совпадающей с прямой, состоит из точек, равноудалённых от этой прямой. Если заданное расстояние равно r, такая поверхность имеет радиус r. Это определение помогает описать все возможные центры сфер данного радиуса, касающихся прямой.

Как это устроено

Пусть сфера имеет центр O, радиус r и касается прямой l в точке T. Перпендикуляр из O к l должен попасть именно в T: радиус OT соединяет центр с точкой сферы, а по свойству касания OT ⟂ l. Значит, кратчайшее расстояние от O до l равно длине OT, то есть r. Так условие касания сводится к равенству d(O, l) = r.

Верно и обратное рассуждение. Опустим из O перпендикуляр на l и обозначим его основание T; если его длина равна r, то OT — радиус сферы, поэтому T лежит на сфере. Другой общей точки быть не может: любая точка прямой, отличная от T, дальше от O, чем перпендикулярное расстояние, и потому находится вне сферы. Следовательно, равенство расстояния радиусу не только необходимо, но и достаточно для касания.

Зафиксируем прямую l и радиус r, а центр O будем перемещать, сохраняя условие d(O, l) = r. В каждой плоскости, перпендикулярной l, подходящие положения центра находятся на окружности радиуса r с центром в точке пересечения плоскости и прямой. Такие окружности при перемещении вдоль l образуют цилиндрическую поверхность. Поэтому любой центр на этой поверхности задаёт сферу радиуса r, касающуюся l.

Если сфера должна касаться нескольких прямых, центр должен находиться на расстоянии r от каждой. Иначе хотя бы для одной прямой не выполнится условие касания. Значит, задачу удобно решать через геометрическое место точек: сначала найти точки, равноудалённые от прямых, а затем оставить те, у которых общее расстояние совпадает с заданным радиусом. Если радиус не задан, его можно определить по полученному расстоянию.

Для двух пересекающихся прямых равные расстояния возникают на плоскостях, которые делят углы между ними пополам и проходят через точку пересечения; такие плоскости называют биссекторными. Нужно учитывать плоскости для всех образованных углов, а не только одну. Для скрещивающихся прямых ориентиром служит общий перпендикуляр, а для параллельных — плоскость между ними, параллельная обеим прямым. Эти ориентиры помогают выбрать подходящее геометрическое место для центра.

Условия касания сферы и прямой

Сначала определите взаимное расположение прямых, затем выберите геометрический ориентир из третьего столбца. После этого проверьте расстояния от предполагаемого центра до каждой прямой: они должны совпасть между собой и с радиусом сферы. Если радиус задан, неподходящие точки геометрического места сразу исключаются.

Разбор задач

Сфера касается одной прямой

Условие: сфера радиуса 5 см касается прямой l. Найдите расстояние от центра сферы до l и опишите положение центра. Здесь не требуется строить сферу: достаточно применить критерий касания и определить множество точек с нужным расстоянием. Обозначим центр через O.

1. При касании расстояние от центра до прямой равно радиусу: d(O, l) = 5 см.
2. Множество точек, удалённых от l на 5 см, образует цилиндрическую поверхность с осью l и радиусом 5 см.
3. Значит, центр O может быть любой точкой этой поверхности; радиус каждой соответствующей сферы равен 5 см.

Ответ: расстояние равно 5 см; центр находится на цилиндрической поверхности радиуса 5 см вокруг l. Проверка проста: расстояние от любой такой точки до оси l равно радиусу сферы, поэтому условие касания выполняется.

Две пересекающиеся прямые

Условие: две пересекающиеся прямые образуют угол 60°. Найдите множество центров сфер заданного радиуса r, касающихся обеих прямых. Сначала нужно определить места, где расстояния до прямых равны; затем учесть, что каждое из расстояний должно быть r. В пространстве центры не обязаны лежать в плоскости самих прямых.

1. Плоскости, равноудалённые от обеих прямых, делят углы между ними пополам. Следует учесть все такие биссекторные плоскости.
2. Каждый центр должен находиться на расстоянии r от обеих прямых. Поэтому на каждой биссекторной плоскости оставляют только точки, для которых это расстояние равно r.
3. Полученное множество можно также описать как пересечение двух цилиндрических поверхностей радиуса r, построенных вокруг данных прямых.

Ответ: центры лежат на биссекторных плоскостях углов между прямыми и одновременно на расстоянии r от каждой прямой. Угол 60° задаёт направления биссектрис, но сам по себе не меняет условие на расстояние. Если рассматривать центры только в плоскости этих прямых, они лежат на биссектрисах углов на расстоянии r от каждой прямой.

Две скрещивающиеся прямые

Условие: расстояние между скрещивающимися прямыми равно 8 см. Найдите радиус сферы, касающейся обеих прямых, если её центр лежит на общем перпендикуляре между ними. Общий перпендикуляр соединяет ближайшие точки прямых, а его длина равна 8 см. В этой задаче положение центра на отрезке между прямыми сразу помогает сравнить расстояния.

1. Обозначим концы общего перпендикуляра через A и B; пусть A и B лежат на разных прямых. Тогда AB = 8 см.
2. Если центр O находится на отрезке AB и равноудалён от обеих прямых, то расстояния до них равны OA и OB. Равенство OA = OB означает, что O — середина AB.
3. Получаем OA = OB = 8 : 2 = 4 см. Для касания расстояние от центра до каждой прямой должно равняться радиусу.

Ответ: радиус равен 4 см. Центр расположен в середине отрезка общего перпендикуляра, поэтому расстояние до каждой прямой равно 4 см и обе прямые касаются сферы.

Типичные ошибки

Ошибка: считать касанием любое наличие общей точки сферы и прямой. Общая точка сама по себе ещё не показывает, что прямая касается сферы: она может пересекать её в двух точках. Проверяйте, что радиус к общей точке перпендикулярен прямой, или сравните расстояние от центра с радиусом.

Ошибка: приравнивать расстояние от центра до прямой диаметру сферы. Так бывает, если путают отрезок от центра до поверхности с отрезком через всю сферу; первый имеет длину r, второй — 2r. Для проверки мысленно опустите перпендикуляр: от центра до точки касания проходит один радиус.

Ошибка: измерять расстояние между скрещивающимися прямыми произвольным соединяющим их отрезком. Такой отрезок может быть наклонён к прямым, поэтому его длина обычно не минимальна. Расстоянием служит длина общего перпендикуляра; проверьте, что он перпендикулярен обеим прямым.

Ошибка: учитывать для пересекающихся прямых только одну биссектрису. Прямые образуют несколько углов, а равные расстояния от их точек возможны на биссекторных плоскостях разных углов. При построении геометрического места рассмотрите все плоскости и лишь затем примените условие на радиус.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны определение сферы и радиуса, а также понятие расстояния от точки до прямой. Важно помнить, что такое расстояние измеряется по перпендикуляру: именно он задаёт кратчайший путь от точки до прямой. Свойство перпендикуляра объясняет, почему радиус в точке касания перпендикулярен касательной.

Условие касания превращает задачу о сфере в задачу о расстояниях и геометрических местах точек. Оно помогает исследовать взаимное расположение прямых и сфер, а также искать центры сфер по нескольким ограничениям. Для скрещивающихся прямых особенно полезно знание общего перпендикуляра.

Что запомнить

• Сфера касается прямой тогда и только тогда, когда расстояние от её центра до прямой равно радиусу.
• Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен прямой.
• Центры сфер заданного радиуса, касающихся одной прямой, образуют цилиндрическую поверхность.
• Для касания нескольких прямых расстояния от центра до каждой из них должны быть равны радиусу.
• Расстояние между скрещивающимися прямыми измеряется по общему перпендикуляру.