"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия (базовый и углублённый уровни)", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Комплексные числа расширяют множество действительных чисел: с их помощью можно работать, например, с квадратными уравнениями, у которых нет действительных корней. Каждое такое число записывают как a + bi, где i² = −1. Главное — отдельно учитывать действительную и мнимую части, при умножении заменять i² на −1, а при делении на ненулевое число использовать сопряжённое.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Комплексным числом называют число вида a + bi, где a и b — действительные числа, а i — мнимая единица. Такая запись называется алгебраической формой: число в ней состоит из действительной части a и слагаемого bi. Она удобна тем, что позволяет выполнять вычисления по правилам алгебры, отдельно отслеживая коэффициенты при i. Например, 3 − 2i — комплексное число с действительной частью 3 и коэффициентом при i, равным −2.
Мнимая единица i — число, для которого i² = −1. Её вводят, чтобы расширить множество действительных чисел: в нём нет числа, квадрат которого равен −1, а с i такое равенство можно записать и использовать в вычислениях. Благодаря этому рассматривают решения уравнений, которые не имеют действительных корней. Например, уравнение x² + 1 = 0 имеет комплексные корни i и −i.
Для числа z = a + bi действительная часть равна a, а мнимая часть равна b. Их обозначают Re z = a и Im z = b; слово «мнимая» здесь относится к коэффициенту при i, а не к слагаемому bi целиком. Эти обозначения помогают коротко записывать свойства и сравнивать комплексные числа. Если z = 5 + 4i, то Re z = 5, Im z = 4.
Числа a + bi и a − bi называют сопряжёнными. При переходе к сопряжённому действительная часть остаётся прежней, а знак мнимой части меняется на противоположный. Сопряжённое к z обозначают, например, z̄. Оно понадобится, в частности, при делении комплексных чисел, потому что произведение сопряжённых чисел оказывается действительным.
Комплексное число a + bi можно представить парой действительных чисел (a, b): первое число пары отвечает за действительную часть, второе — за коэффициент при i. Запись a + bi — удобный алгебраический способ представить эту пару, чтобы применять привычные действия с выражениями. Например, пара (2, −3) записывается как 2 − 3i. Такой взгляд объясняет, почему при вычислениях важно не смешивать две части числа.
Равенство a + bi = c + di возможно только тогда, когда совпадают обе компоненты: a = c и b = d. Иначе говоря, равны пары (a, b) и (c, d), а у пар равны соответствующие элементы. Это правило позволяет сравнивать комплексные числа и находить неизвестные коэффициенты. Например, если 2 + xi = 2 + 5i, то x = 5.
При сложении и вычитании складывают или вычитают соответствующие компоненты пар. Поэтому (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i, а (a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i. Слагаемые без i объединяют между собой, а коэффициенты при i — отдельно. Так результат сразу остаётся в форме действительной части плюс мнимая часть.
Правило умножения получается раскрытием скобок: (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi². Так как i² = −1, последний член равен −bd, а два средних слагаемых объединяются в (ad + bc)i. В результате получаем (ac − bd) + (ad + bc)i, то есть снова число вида A + Bi с действительными коэффициентами. Именно замена i² на −1 позволяет привести произведение к алгебраической форме.
Деление на ненулевое комплексное число удобно преобразовать так, чтобы знаменатель стал действительным. Для дроби с знаменателем c + di числитель и знаменатель умножают на сопряжённое c − di; это не меняет дробь, потому что фактически её умножают на единицу. В знаменателе возникает (c + di)(c − di) = c² + d²: слагаемые с i сокращаются, а i² заменяется на −1. Если c + di не равно нулю, то c² + d² положительно, и дробь можно упростить.
| Операция | Правило для z₁ = a + bi и z₂ = c + di | Условие |
|---|---|---|
| Сложение | z₁ + z₂ = (a + c) + (b + d)i | Всегда определено |
| Вычитание | z₁ − z₂ = (a − c) + (b − d)i | Всегда определено |
| Умножение | z₁z₂ = (ac − bd) + (ad + bc)i | Всегда определено |
| Деление | z₁ / z₂ = ((ac + bd) + (bc − ad)i) / (c² + d²) | z₂ ≠ 0 |
Выберите строку по нужной операции и подставьте в неё коэффициенты чисел: a и b относятся к z₁, c и d — к z₂. При делении знаменатель c² + d² — действительное число, и условие z₂ ≠ 0 гарантирует, что делить на ноль не придётся. После вычисления удобно проверить, что ответ записан в форме A + Bi.
Вычислите (3 − 2i) + (1 + 5i) и представьте результат в алгебраической форме. Нужно получить одно число вида A + Bi, поэтому сначала соберём отдельно слагаемые без i и слагаемые с i. При сложении важно сохранить знак каждой мнимой части. Затем проверим, что запись упрощена.
Ответ: 4 + 3i. Проверка состоит в том, что действительная часть результата равна сумме 3 и 1, а мнимая — сумме коэффициентов −2 и 5. Каждая часть вычислена отдельно, поэтому результат находится в алгебраической форме.
Вычислите (2 + 3i)(1 − 4i). Если перемножить только действительные и только мнимые части, результат будет неверным: при раскрытии скобок появляются также произведения действительного числа на мнимое. Особенно важно учесть произведение 3i на −4i, содержащее i². После раскрытия скобок приведём подобные слагаемые.
Ответ: 14 − 5i. Действительная часть равна 14, потому что −12i² превращается в 12. Мнимая часть получается сложением −8i и 3i, то есть −5i.
Вычислите (5 + i) / (2 − 3i) и запишите ответ в виде a + bi. Чтобы избавиться от мнимой части знаменателя, умножим дробь на сопряжённое знаменателю число 2 + 3i. Так как это число не равно нулю, умножение числителя и знаменателя на него не меняет значение дроби. Затем раскроем скобки и приведём результат.
Ответ: 7/13 + (17/13)i. Знаменатель стал действительным числом, поэтому дробь записана в требуемой форме. Проверка: перед делением исходный знаменатель 2 − 3i не равен нулю, а i² в числителе заменено на −1.
Ошибка — считать i² равным 1 или оставлять i² в окончательном ответе. Это происходит, если забыть, что поведение i задаётся отдельным определяющим равенством, а не правилами для обычных букв. Каждый раз, когда в вычислении появляется i², заменяйте его на −1. Для проверки подставьте эту замену во все слагаемые и убедитесь, что результат приведён к виду a + bi.
Ошибка — перемножать действительную и мнимую части при сложении или вычитании. Так можно по привычке смешать операции над компонентами пары, хотя при сложении и вычитании соответствующие части обрабатываются отдельно. Сгруппируйте слагаемые без i и коэффициенты при i, сохраняя их знаки. Проверьте, что в ответе нет произведений чисел вместо нужных сумм или разностей.
При умножении иногда забывают заменить i² на −1 или привести подобные части. Тогда неверно вычисляется действительная часть, поскольку произведение двух мнимых слагаемых тоже даёт вклад в неё. Раскройте все скобки, отметьте член с i² и отдельно соберите действительные и мнимые слагаемые. Проверка — результат должен иметь вид A + Bi и не содержать i².
Нельзя делить комплексные числа, деля отдельно их действительные и мнимые части. Такой способ не соответствует правилам действий с парами и обычно приводит к числу, не равному частному. Умножьте числитель и знаменатель на сопряжённое знаменателю, предварительно проверив, что делитель не нулевой. В конце убедитесь, что знаменатель действительный, а ответ приведён к форме a + bi.
Для вычислений с комплексными числами нужны навыки действий с действительными числами и раскрытия скобок: они помогают не терять знаки и верно приводить подобные слагаемые. Новая числовая система отвечает на вопрос, как работать с квадратными корнями из отрицательных чисел и уравнениями без действительных корней. Позже комплексные числа используются при решении квадратных и других алгебраических уравнений. Поэтому освоенные правила становятся основой для дальнейшего изучения алгебры.
Почему i² равно −1?
Равенство i² = −1 является определением мнимой единицы i. В действительных числах квадрат любого числа неотрицателен, поэтому среди них нет числа, квадрат которого равен −1. Введение i позволяет расширить числовую систему.
Может ли комплексное число быть действительным?
Да. Любое действительное число a можно записать как a + 0i, поэтому действительные числа входят в множество комплексных. Например, 4 = 4 + 0i.
Как найти действительную и мнимую части числа?
Запишите число в виде a + bi: коэффициент a является действительной частью, а коэффициент b — мнимой. Например, для z = 3 − 2i имеем Re z = 3 и Im z = −2. Мнимая часть — именно коэффициент при i, а не всё слагаемое −2i.
Почему при сложении комплексных чисел складывают отдельно действительные и мнимые части?
Комплексное число можно считать парой действительных чисел (a, b), поэтому сложение выполняется покоординатно: отдельно для первых и вторых компонент. В записи a + bi это означает, что складывают свободные члены и коэффициенты при i. Так результат сохраняет алгебраическую форму.
Зачем при делении комплексных чисел умножать на сопряжённое?
Произведение числа на сопряжённое не содержит i и равно действительному числу: (c + di)(c − di) = c² + d². Поэтому умножение числителя и знаменателя на сопряжённое знаменателя убирает мнимую часть из знаменателя. Это допустимо, если делитель не равен нулю.
§ 1. Определение комплексных чисел и арифметических операций над ними
