"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия (базовый и углублённый уровни)", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Квадратный корень из комплексного числа z — такое число w, что w² = z. Чтобы найти корни, неизвестное w представляют как x + yi и приравнивают действительную и мнимую части его квадрата. Получается система, из которой с помощью модуля z находят x² и y². Ненулевое комплексное число имеет два противоположных корня, а знак мнимой части одного из них зависит от знака мнимой части исходного числа.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Квадратный корень из комплексного числа z — это число w, для которого w² = z. Например, если w² = z, то и (−w)² = z, поэтому у ненулевого z есть два противоположных корня; у нуля только один корень 0. Иными словами, нужно найти число, квадрат которого совпадает с заданным, а не просто извлечь корень из его действительной части.
Модуль комплексного числа a + bi — неотрицательное число |a + bi| = √(a² + b²). Он показывает расстояние от точки, изображающей число на комплексной плоскости, до начала координат. При нахождении квадратных корней модуль помогает связать действительную и мнимую части искомого числа.
Сопряжённое к a + bi число — это a − bi: знак мнимой части меняют на противоположный. При умножении числа на сопряжённое мнимые слагаемые сокращаются: (a + bi)(a − bi) = a² + b² = |a + bi|². Поэтому сопряжённое удобно использовать, когда нужно получить действительное выражение и связать его с модулем.
Чтобы найти корень, обозначим его w = x + yi, где x и y — действительные числа. Возводим w в квадрат: (x + yi)² = x² − y² + 2xyi, поскольку i² = −1. Равенство w² = a + bi означает равенство отдельно действительных и мнимых частей, поэтому получаем систему x² − y² = a и 2xy = b.
Если b ≠ 0, то ни x, ни y не равны нулю. Из 2xy = b следует, что при b > 0 числа x и y имеют одинаковые знаки, а при b < 0 — противоположные. Если для одного корня выбрать x положительным, знак y должен совпасть со знаком b; смена знаков у обоих чисел даёт второй корень.
Для связи с модулем возведём уравнение 2xy = b в квадрат и сложим с (x² − y²)² = a². Получится (x² + y²)² = a² + b², откуда x² + y² = |z|, так как левая часть неотрицательна. Складывая это равенство с x² − y² = a, находим x² = (|z| + a)/2; вычитая второе из первого, получаем y² = (|z| − a)/2.
Подставим найденные квадраты и выберем x положительным: один корень равен √((|z| + a)/2) + i·sgn(b)√((|z| − a)/2). Здесь sgn(b) равно 1 при b > 0 и −1 при b < 0. Второй корень противоположен первому, поэтому формула обоих корней записывается со знаком ± перед всем выражением.
Знак b определяет знак произведения xy, а значит, согласованность знаков действительной и мнимой частей выбранного корня. Если b = 0, этот вывод о знаках уже неприменим: отдельно рассматривают действительное число a. При a > 0 корни действительные, при a < 0 — чисто мнимые, а при a = 0 уравнение w² = 0 имеет единственное решение.
Найдите случай по значениям a и b, а затем примените соответствующую строку. В формуле для b ≠ 0 сначала вычислите модуль, после чего извлеките корни из двух неотрицательных выражений. Знак ± относится ко всему выражению: он сразу меняет знаки обеих частей корня.
| Случай | Корни | Особенность |
|---|---|---|
| b ≠ 0 | ±(√((|z| + a)/2) + i·sgn(b)√((|z| − a)/2)) | Знак мнимой части выбранного корня зависит от b |
| b = 0, a > 0 | ±√a | Два действительных корня |
| b = 0, a < 0 | ±i√(−a) | Два чисто мнимых корня |
| a = b = 0 | 0 | Единственный корень |
Задача 1. Найти квадратные корни из 3 + 4i. Мнимая часть положительна, значит, у корня с положительной действительной частью мнимая часть также будет положительной. Используем формулу для b ≠ 0 и сначала вычисляем модуль числа.
Ответ: 2 + i и −2 − i.
Задача 2. Найти квадратные корни из −8 + 6i. Здесь действительная часть отрицательная, но формула применима, потому что b ≠ 0. Знак мнимой части корня с положительной действительной частью должен быть положительным, поскольку b = 6.
Ответ: 1 + 3i и −1 − 3i.
Задача 3. Решить уравнение w² = −7 − 24i. Представим неизвестное как w = x + yi, чтобы не потерять связь между частями корня. Так как мнимая часть правой части отрицательна, произведение xy должно быть отрицательным.
Ответ: w = 3 − 4i или w = −3 + 4i.
Записывают только один корень и забывают противоположный. Обычно это происходит потому, что найденное число принимают за единственное решение; проверьте, что квадрат его противоположного тоже равен z. Для ненулевого числа эти два корня различны.
Выбирают знак мнимой части независимо от знака b. Но уравнение 2xy = b требует, чтобы при b > 0 произведение было положительным, а при b < 0 — отрицательным. После подстановки проверьте это равенство; второй корень должен менять знаки обеих частей одновременно.
Путают выражения |z| + a и |z| − a в формулах для x² и y². Путаница возникает при механическом запоминании формулы; восстановите её сложением и вычитанием x² − y² = a и x² + y² = |z|. Проверка: сумма найденных квадратов должна дать |z|, а разность — a.
Применяют формулу для b ≠ 0, не проверив отдельные случаи. При b = 0 знак мнимой части нельзя определить через sgn(b), а нуль вообще имеет один корень, не два. Сначала проверьте b и a, затем выбирайте формулу из таблицы и возведите ответ в квадрат.
Для решения нужны действия с комплексными числами, равенство их действительных и мнимых частей и формула (x + yi)² = x² − y² + 2xyi. Понятия модуля и сопряжённого числа помогают перейти от системы к формулам для частей корня. Навык извлечения квадратного корня понадобится при решении квадратных уравнений с комплексными коэффициентами и других задачах с комплексными числами.
Почему у ненулевого комплексного числа два квадратных корня?
Если w² = z, то (−w)² тоже равно z, поэтому вместе с w корнем является −w. При z ≠ 0 эти корни различны, а для z = 0 уравнение w² = 0 имеет только корень 0.
Как найти квадратный корень из комплексного числа?
Для z = a + bi положите w = x + yi и сравните действительную и мнимую части равенства w² = z. При b ≠ 0 получаются корни ±(√((|z| + a)/2) + i·sgn(b)√((|z| − a)/2)), где |z| = √(a² + b²). Если b = 0, корни удобнее определить отдельно по знаку a.
Зачем при вычислении корней нужен модуль числа?
Модуль связывает действительную и мнимую части исходного числа: |z|² = a² + b². Вместе с уравнениями x² − y² = a и x² + y² = |z| он позволяет отдельно найти x² и y².
Как определить знак мнимой части корня?
Из равенства 2xy = b следует, что при b > 0 действительная и мнимая части выбранного корня имеют одинаковые знаки, а при b < 0 — разные. Можно взять положительную действительную часть и выбрать знак y по знаку b; второй корень будет противоположным.
Какие квадратные корни имеют отрицательные действительные числа?
Если a < 0, то √a в комплексных числах равно ±i√(−a). Действительно, квадрат числа i√(−a) равен −(−a) = a, а противоположное число даёт тот же квадрат.
§ 2. Квадратные корни из комплексного числа
