"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия (базовый и углублённый уровни)", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Комплексное число z = a + bi можно представить точкой на координатной плоскости: её координаты равны действительной части a и коэффициенту b при мнимой единице. Горизонтальная ось показывает действительные части, вертикальная — мнимые. Такое изображение помогает увидеть, где находятся действительные и чисто мнимые числа, а также наглядно изучать свойства комплексных чисел. По координатам точки можно восстановить соответствующее число.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Комплексное число — число вида z = a + bi, где a и b — действительные числа, а i — мнимая единица, для которой i² = −1. Часть a называют действительной, а слагаемое bi содержит мнимую единицу. Такая запись позволяет работать с числами, которые не сводятся к обычным действительным.
Действительная часть комплексного числа z = a + bi — это число a; её обозначают Re z. Она показывает горизонтальную координату точки, изображающей z. По ней можно определить, насколько далеко точка находится от мнимой оси и с какой стороны от неё.
Мнимая часть комплексного числа z = a + bi — это число b; её обозначают Im z. Это именно коэффициент при i, а не слагаемое bi: например, у числа 4 − 3i мнимая часть равна −3. Такое различие нужно, чтобы правильно записывать координаты точки и само число.
Комплексная плоскость — координатная плоскость, на которой горизонтальная ось соответствует действительным частям чисел, а вертикальная — мнимым. Эти оси называют соответственно действительной и мнимой. Благодаря такому соответствию каждому комплексному числу можно сопоставить точку.
Число z = a + bi состоит из двух действительных чисел: a и b. Поэтому ему можно поставить в соответствие упорядоченную пару (a; b), а каждой такой паре на координатной плоскости соответствует единственная точка. Так появляется изображение числа z точкой с координатами (a; b): первая координата берётся из Re z, вторая — из Im z.
Чтобы построить изображение числа, сначала находят его действительную и мнимую части. Re z откладывают по горизонтальной действительной оси, а Im z — по вертикальной мнимой оси; точку ставят на пересечении соответствующих координатных линий. Например, для числа 2 + 3i нужно пройти на 2 единицы вправо и на 3 вверх. Такой порядок следует из того, что в координатной записи сначала указывают горизонтальную, а затем вертикальную координату.
Восстановление числа по точке выполняют в обратном порядке. Если точка имеет координаты (a; b), первая координата становится действительной частью, а вторая — коэффициентом при i, поэтому получается a + bi. Например, точка (−1; 2) соответствует числу −1 + 2i. Координаты нужно читать именно в заданном порядке, иначе действительная и мнимая части поменяются местами.
У действительного числа мнимая часть равна нулю, поэтому его точка имеет координаты (a; 0) и лежит на горизонтальной оси. У чисто мнимого числа bi действительная часть равна нулю, значит, точка (0; b) лежит на вертикальной оси. Число 0 имеет обе части, равные нулю, поэтому ему соответствует начало координат — точка пересечения осей. Если обе части отличны от нуля, точка находится вне осей.
Отрицательные части изображают движением в сторону отрицательных значений соответствующей оси. Например, у числа −2 − 5i обе координаты отрицательны: точку строят на 2 единицы влево и на 5 вниз. В записи числа знаки сохраняются, потому что координаты непосредственно равны a и b, а не их модулям. Поэтому отрицательная вторая координата означает отрицательный коэффициент при i.
| Объект | Действительная часть | Мнимая часть | Координаты точки |
|---|---|---|---|
| z = a + bi | a | b | (a; b) |
| Точка M(a; b) | a | b | (a; b) |
| Действительное число a | a | 0 | (a; 0) |
| Чисто мнимое число bi | 0 | b | (0; b) |
| Число 0 | 0 | 0 | (0; 0) |
В таблице каждая строка связывает запись числа, его части и координаты соответствующей точки. При построении двигайтесь от записи к координатам, а при восстановлении числа — от координат к записи a + bi. Строки для действительных и чисто мнимых чисел помогают быстро определить, на какой оси лежит точка.
Сначала для каждого числа нужно прочитать действительную часть и коэффициент при i: именно они станут координатами. Затем по знакам и значениям координат определяют направление движения от начала координат. После этого ставят точки на пересечениях соответствующих координатных линий.
Ответ: числу z₁ соответствует точка (2; 3), числу z₂ — точка (−1; 2).
В координатах точки уже указаны обе части комплексного числа. Первая координата даёт действительную часть, вторая — мнимую часть, то есть коэффициент при i. Нулевые координаты показывают, что точка лежит на одной из осей.
Ответ: точке A соответствует число −3, точке B — число 4i.
Чтобы получить число, переносим координаты в запись a + bi без изменения их знаков. Для определения четверти смотрим, положительна или отрицательна каждая координата. Это позволяет проверить и запись, и расположение точки независимо друг от друга.
Ответ: z = −2 − 5i, точка C находится в третьей четверти.
Ошибка: считать мнимой частью слагаемое bi, а не коэффициент b. Её допускают, потому что в записи рядом стоят число и символ i; однако по определению Im(a + bi) = b. Для проверки отделите коэффициент от i: у 3 − 2i мнимая часть равна −2.
Ошибка: менять местами координаты. Такое случается, когда забывают, что в паре (a; b) сначала записана горизонтальная координата, а затем вертикальная. Сверьте первую координату с Re z, а вторую — с Im z; для числа 2 + 3i должна получиться точка (2; 3).
Ошибка: записывать отрицательную мнимую часть без знака или как положительную. Причина — знак перед слагаемым с i можно не заметить, хотя он входит в коэффициент b. Проверьте число по координате: если вторая координата отрицательна, перед bi в записи должен стоять минус, как в числе 1 − 4i.
Ошибка: считать, что любое комплексное число лежит на одной из осей. Это верно только тогда, когда одна из частей равна нулю; часто это обобщают на все числа. Проверьте обе координаты: если действительная и мнимая части ненулевые, точка находится вне осей, например (2; 3).
Для работы с комплексной плоскостью нужны знания о координатах точки, осях координат и действительных числах, в том числе об их знаках. Геометрическое изображение станет основой для изучения модуля и аргумента комплексного числа: эти понятия связывают точку с расстоянием до начала координат и её направлением. Кроме того, плоскость помогает наглядно рассматривать действия с комплексными числами и геометрические преобразования.
Почему комплексное число изображается именно точкой, а не вектором?
Числу a + bi ставят в соответствие пару координат (a; b), а каждой такой паре соответствует одна точка плоскости. Тот же отрезок от начала координат можно рассматривать как вектор, но изображением числа в этой теме считают именно точку.
Какая координата соответствует мнимой части?
Мнимой части соответствует вторая, то есть вертикальная координата точки. Если z = a + bi, то эта координата равна b.
Почему мнимая часть числа 3 − 2i равна −2, а не −2i?
Мнимая часть — это коэффициент при i, а не всё слагаемое с мнимой единицей. В записи 3 − 2i коэффициент равен −2, поэтому Im z = −2.
Где на комплексной плоскости находятся действительные числа?
У действительного числа мнимая часть равна нулю. Поэтому его точка имеет координаты (a; 0) и лежит на горизонтальной действительной оси.
Как записать комплексное число, если известны координаты его точки?
Первую координату нужно взять как действительную часть, а вторую — как коэффициент при i. Например, точке (−2; 5) соответствует число −2 + 5i.
§ 3. Изображение комплексных чисел точками координатной плоскости
