"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия (базовый и углублённый уровни)", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Окружность — граница, а круг — вся часть плоскости внутри этой границы. Их измеряют по-разному: длину окружности находят по радиусу или диаметру, а площадь круга — по квадрату радиуса. Дуга и сектор составляют часть окружности и круга; их величины зависят от центрального угла. Эти формулы помогают решать задачи о круглых деталях, площадках и движении по окружности.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Окружность — замкнутая линия, все точки которой равноудалены от одной точки, называемой центром. Круг — часть плоскости, ограниченная этой линией, вместе с самой границей. Поэтому окружность можно представить как контур, а круг — как заполненную область внутри него. Радиус r соединяет центр с окружностью, а диаметр d проходит через центр от одного края до другого; между ними выполняется равенство d = 2r.
Длина окружности — длина её границы; для неё принято обозначение C. Это линейная величина, поэтому её измеряют, например, в миллиметрах, сантиметрах или метрах. Длину нельзя путать с площадью внутренней области: у неё другие единицы измерения и другая формула. Обозначение C удобно использовать при вычислении длины круглого обода или контура.
Площадь круга — площадь части плоскости, ограниченной окружностью; её обозначают S. Она показывает, сколько места занимает круглая область, а не насколько длинна её граница. Площадь измеряют в квадратных единицах: например, в см² или м². Различие между C и S помогает сразу выбрать подходящую формулу и единицы ответа.
Дуга — часть окружности между двумя её точками. Круговой сектор — часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой между их концами. Два радиуса образуют центральный угол, вершина которого находится в центре круга. Дуга и сектор связаны с этим углом: чем он больше при одном и том же радиусе, тем большую часть окружности или круга они составляют.
Для любой окружности отношение её длины к диаметру одинаково, потому что все окружности подобны: одна получается из другой увеличением или уменьшением всех размеров в одно и то же число раз. При таком изменении и длина, и диаметр меняются одинаково, поэтому их отношение сохраняется. Эту постоянную величину обозначают греческой буквой π; приближённо π ≈ 3,14. Значит, C/d = π, откуда C = πd, а с учётом d = 2r получаем C = 2πr.
Формулу площади можно понять через приближение круга многоугольниками: чем больше сторон у вписанного многоугольника, тем точнее его площадь приближается к площади круга. Есть и наглядный способ: разделим круг на множество узких секторов и расположим их попеременно вершинами вверх и вниз. При очень большом числе секторов получится почти прямоугольник с высотой r и основанием, равным половине окружности, то есть πr. Его площадь равна r·πr, поэтому S = πr².
Полный оборот вокруг центра соответствует углу 360°. Если центральный угол равен α градусов, он составляет долю α/360 полного оборота. Поэтому дуга, которую он стягивает, занимает такую же долю всей окружности, а сектор — такую же долю всего круга. Например, угол 90° составляет четверть полного угла, значит, дуга и сектор занимают четверть соответствующих полных величин.
Умножив длину всей окружности на долю α/360, получим длину дуги: l = (α/360)·2πr. Аналогично площадь сектора равна этой доле площади круга: Sс = (α/360)·πr². При фиксированном радиусе обе формулы содержат один и тот же множитель α/360, поэтому увеличение угла в два раза увеличивает и длину дуги, и площадь сектора в два раза. Угол в этих формулах подставляют в градусах.
Если неизвестен радиус или диаметр, формулу можно преобразовать, оставив нужную величину одну сторону равенства. Из C = 2πr следует r = C/(2π), а из C = πd — d = C/π. Из S = πr² сначала получаем r² = S/π, затем берём положительный квадратный корень: r = √(S/π), поскольку радиус не бывает отрицательным. Если требуется диаметр, после нахождения радиуса используем d = 2r.
| Величина | Обозначение | Формула | Единицы измерения |
|---|---|---|---|
| Длина окружности | C | 2πr = πd | Единицы длины |
| Площадь круга | S | πr² | Квадратные единицы |
| Длина дуги при центральном угле α | l | (α/360)·2πr | Единицы длины |
| Площадь сектора при центральном угле α | Sс | (α/360)·πr² | Квадратные единицы |
Сначала определите, что требуется найти: границу, внутреннюю область, дугу или сектор. Затем выберите соответствующую строку и проверьте, даны ли радиус или диаметр и нужно ли учитывать угол. Единицы в ответе выбирайте по типу величины: длина или площадь.
Задача 1. Найти длину окружности радиуса 5 см. Радиус уже дан, поэтому можно сразу использовать формулу C = 2πr. Подставим значение и сохраним точное выражение с π; при необходимости его можно приблизительно вычислить, взяв π ≈ 3,14.
Ответ: 10π см, или примерно 31,4 см. В ответе указаны единицы длины, поскольку вычислялась длина границы.
Задача 2. Найти площадь круга, если его диаметр равен 12 м. В формуле площади участвует радиус, а не диаметр. Поэтому сначала разделим диаметр пополам, затем возведём радиус в квадрат и умножим на π. Такой порядок не позволяет случайно подставить в формулу не ту величину.
Ответ: 36π м², или примерно 113,04 м². Квадратные метры нужны потому, что это площадь.
Задача 3. Найти длину дуги и площадь соответствующего сектора круга радиуса 9 см, если центральный угол равен 80°. Сначала определим долю полного круга: угол 80° составляет 80/360, то есть 2/9. Эту долю применим отдельно к длине окружности и площади всего круга. Так мы найдём обе величины, не подменяя длину площадью.
Ответ: длина дуги — 4π см, площадь сектора — 18π см². Приближённо это 12,56 см и 56,52 см² соответственно.
В формулах C = 2πr и S = πr² иногда вместо радиуса подставляют диаметр. Обычно это происходит из-за того, что обе величины описывают размер круга и обозначаются похожим образом. Перед вычислением проверьте, что именно дано, и если дан диаметр, сначала найдите r = d/2. Полезная самопроверка: подстановка диаметра вместо радиуса удвоит длину окружности и увеличит площадь в четыре раза.
Запись площади как πr или 2πr смешивает площадь с длиной окружности. Выражение 2πr — это длина границы, а πr — половина этой длины, не площадь круга. Ошибку провоцирует похожий набор символов в формулах. Проверьте единицы: если ответ должен быть в квадратных сантиметрах, формула обязана содержать величину, дающую квадрат единицы длины.
При вычислении дуги или сектора нельзя забывать деление угла на 360°. Умножение полной длины или площади просто на α даст неверный масштаб, потому что α — число градусов, а не доля круга. Сначала найдите долю α/360, а затем умножайте на полную величину. Проверка проста: при α = 360° результат должен совпасть со всей окружностью или всем кругом.
Ещё одна ошибка — записывать площадь в сантиметрах, а длину в квадратных сантиметрах. Это происходит, если ориентироваться только на численный результат и забыть, что измерялось. Длина дуги и окружности выражается в единицах длины, площадь круга и сектора — в квадратных единицах. В конце решения отдельно сверьте единицу с названием искомой величины.
Для изучения темы нужно знать, что такое радиус и диаметр, и помнить равенство d = 2r. Также пригодятся формулы площадей прямоугольника и треугольника: понимание площади помогает увидеть смысл формулы круга и способа приближения его многоугольниками. Если дана одна из величин — радиус или диаметр, — связь между ними позволяет перейти к удобной для вычисления форме.
Формулы длины и площади применяют в задачах о фигурах с круглыми элементами: например, чтобы найти длину обода или площадь круглой площадки. Они полезны и при описании вращения и движения по окружности, где путь за полный оборот связан с длиной окружности. Для части оборота используют соответствующие доли длины дуги и площади сектора.
Чем круг отличается от окружности?
Окружность — замкнутая линия, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от центра. Круг — эта линия вместе со всей областью внутри неё.
Почему отношение длины окружности к диаметру всегда равно π?
У всех окружностей одинаковая форма, и при увеличении радиуса длина окружности и диаметр увеличиваются во столько же раз. Поэтому их отношение не меняется; это постоянное число обозначают π, оно приблизительно равно 3,14.
Можно ли найти площадь круга, если известен только его диаметр?
Да. Сначала диаметр нужно разделить на 2, чтобы получить радиус, а затем подставить его в формулу S = πr². Диаметр непосредственно вместо радиуса в эту формулу подставлять нельзя.
Как найти длину дуги, если известны радиус и центральный угол?
Найдите, какую долю полного угла составляет центральный угол: α/360. Умножьте эту долю на длину всей окружности: l = (α/360)·2πr.
Почему для площади круга радиус возводят в квадрат?
Площадь измеряет двумерную величину: при увеличении всех размеров круга в несколько раз его площадь увеличивается в квадрат этого числа раз. Поэтому в формуле площади появляется r², а коэффициент π учитывает форму круга.
§ 1. Площадь круга и длина окружности
