"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия (базовый и углублённый уровни)", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Логарифмическая функция y = logₐ x показывает, в какую степень нужно возвести основание a, чтобы получить число x. Она обратна показательной функции и помогает описывать процессы, в которых величины связаны через степень, а также решать уравнения и неравенства. Главное — помнить ограничения: a > 0, a ≠ 1 и x > 0. Основание определяет, будет ли функция возрастать или убывать.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Логарифмическая функция — функция вида y = logₐ x, где a > 0 и a ≠ 1. Число a называют основанием, а x — аргументом логарифма. Запись означает: y — такая степень, в которую надо возвести a, чтобы получить x. Определение связывает логарифмы с показателями степеней.
Основание логарифма — число a, задающее функцию y = logₐ x и её поведение. Оно должно быть положительным, потому что рассматриваются действительные степени положительного числа. Единица не подходит: 1 в любой степени остаётся единицей и не позволяет получить произвольное положительное x. Эти ограничения нужны, чтобы логарифм был определён как обратная показательной функция.
Область определения — множество значений аргумента, при которых функция имеет смысл. Для y = logₐ x это x > 0: положительное основание в действительной степени всегда даёт положительное число. Ноль и отрицательные значения аргумента исключаются. При поиске области определения более сложной функции сначала требуют, чтобы всё выражение под знаком логарифма было положительным.
График логарифмической функции — кривая y = logₐ x, получаемая отражением графика y = aˣ относительно прямой y = x. Такое отражение меняет местами координаты точек обратных функций. Это помогает строить логарифмический график по уже известному показательному и понимать, как связаны их свойства.
Из равенства y = logₐ x по определению логарифма следует x = aʸ. В первом равенстве известное число x рассматривается как аргумент, а результатом становится показатель y; во втором известен показатель и находится значение степени. Поэтому эти функции обращают действия друг друга: сначала одна переводит аргумент в значение, а другая возвращает исходное число. Именно так объясняется взаимная обратность функций y = logₐ x и y = aˣ.
Аргумент логарифма должен быть строго положительным, потому что при a > 0 выражение aʸ положительно при любом действительном y. Значит, равенство x = aʸ не может дать x ≤ 0. Основание тоже должно быть положительным: для неположительного основания действительные степени в общем случае не определены. Если же основание равно единице, функция 1ˣ постоянна и не имеет обратной функции, поэтому условие a ≠ 1 обязательно.
Направление изменения логарифмической функции зависит от того, как меняется показательная функция. При a > 1 функция aˣ возрастает: большему показателю соответствует большее значение. При обращении функции координаты меняются местами, но порядок аргументов и значений сохраняется, поэтому logₐ x тоже возрастает. Если 0 < a < 1, показательная функция убывает, и обратная ей логарифмическая функция также убывает.
У обратных функций графики симметричны относительно прямой y = x, поскольку отражение относительно неё меняет местами координаты каждой точки. Например, если точка (u; v) лежит на графике y = aˣ, то точка (v; u) лежит на графике y = logₐ x. При x = 1 получаем logₐ 1 = 0, ведь a⁰ = 1; поэтому график пересекает ось x в точке (1; 0). Этот результат верен для обоих допустимых диапазонов основания.
При приближении x к нулю справа значения логарифма неограниченно меняются по модулю: график подходит всё ближе к прямой x = 0, но не касается её. Поэтому эту прямую называют вертикальной асимптотой. С другой стороны, для любого действительного y можно взять x = aʸ, и тогда logₐ x = y. Значит, множество значений функции — все действительные числа, хотя аргумент может быть только положительным.
| Свойство | a > 1 | 0 < a < 1 |
|---|---|---|
| Область определения | x > 0 | x > 0 |
| Множество значений | Все действительные числа | Все действительные числа |
| Монотонность | Возрастает | Убывает |
| Пересечение с осью x | (1; 0) | (1; 0) |
| Вертикальная асимптота | x = 0 | x = 0 |
| Знак функции | Отрицательна при 0 < x < 1; положительна при x > 1 | Положительна при 0 < x < 1; отрицательна при x > 1 |
Сначала определи, к какому диапазону относится основание, — это сразу подскажет монотонность и знаки. Затем пользуйся областью определения и точкой (1; 0), общими для обоих случаев. Асимптоту x = 0 учитывай при построении графика: он существует только справа от оси y.
Задача 1. Найти область определения функции y = log₂(x − 3). Под логарифмом стоит выражение x − 3, поэтому оно должно быть положительным. После решения неравенства получим все допустимые значения аргумента.
Ответ: область определения — (3; +∞).
Задача 2. Сравнить log₃ 5 и log₃ 7, не вычисляя значения. Основание 3 больше единицы, поэтому функция y = log₃ x возрастает. Для возрастающей функции большему аргументу соответствует большее значение.
Ответ: log₃ 5 < log₃ 7.
Задача 3. Решить уравнение log₁⁄₂(x + 1) = −2 и проверить корень. Сначала переведём логарифмическое равенство в показательную форму. До преобразования учитываем, что x + 1 должно быть положительным, затем проверяем найденное значение подстановкой.
Ответ: x = 3.
Ошибка — разрешать отрицательный аргумент или ноль. Так поступают, если проверяют только основание и забывают о значении под знаком логарифма. В действительных числах logₐ x определён лишь при x > 0. Для самопроверки выпиши условие положительности аргумента до решения уравнения или неравенства.
Иногда допускают основание a = 1 или неположительное основание. Основание 1 не задаёт обратимую показательную функцию, а неположительные основания не подходят для степеней с произвольным действительным показателем. Проверяй основание отдельно: нужны одновременно a > 0 и a ≠ 1. Если одно из условий нарушено, функция в рассматриваемом виде не определена.
Можно перепутать монотонность и утверждать, что функция с основанием между нулём и единицей возрастает. Путаница возникает потому, что привычнее рассматривать основание больше единицы. Сравни основание с 1: при a > 1 логарифмическая функция возрастает, при 0 < a < 1 убывает. При сравнении логарифмов это правило помогает понять, сохраняется ли порядок аргументов.
Ещё одна ошибка — считать, что график пересекает ось y. На оси y находится x = 0, но при таком аргументе логарифм не определён. График приближается к прямой x = 0, которая является вертикальной асимптотой, и пересекает ось x в точке (1; 0). Проверяй координату: для пересечения с осью y потребовалось бы допустимое значение функции при x = 0.
Для изучения логарифмической функции нужно знать определение логарифма и уметь переходить от y = logₐ x к x = aʸ. Также полезно исследовать монотонность показательной функции и читать её график: через обратность можно понять поведение логарифмической. Позже эта тема понадобится при решении логарифмических уравнений и неравенств. Свойства функции помогут также исследовать более сложные графики.
Графики логарифмических функций
Почему аргумент логарифма должен быть больше нуля?
Логарифм logₐ x равен показателю степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить x. При a > 0 значение a в любой действительной степени положительно, поэтому отрицательное число и ноль получить нельзя.
Почему основание логарифма не может быть равно единице?
Если a = 1, то 1 в любой степени равно 1. Поэтому равенство 1ʸ = x не позволяет получить единственное значение y для произвольного положительного x, и обратная функция не возникает.
Как определить, возрастает или убывает логарифмическая функция?
Смотри на основание. При a > 1 функция y = logₐ x возрастает, а при 0 < a < 1 убывает.
Через какую точку проходит график логарифмической функции?
График проходит через точку (1; 0), поскольку logₐ 1 = 0 для любого допустимого основания. Это следует из равенства a⁰ = 1.
Как связаны графики логарифмической и показательной функций?
Функции y = logₐ x и y = aˣ обратны друг другу. Их графики симметричны относительно прямой y = x: координаты каждой соответствующей точки меняются местами.
§ 3. Логарифмическая функция
