§ 2. Показательная функция

Определения и обозначения

Показательной функцией называют функцию вида y = a^x, где a > 0 и a ≠ 1. Число a — основание показательной функции, то есть постоянное число, которое возводят в степень. Условия на a нужны, чтобы функция была определена для любых действительных показателей и не превращалась в постоянную.

В записи a^x число a является основанием, а x — показателем степени и аргументом функции. Основание выбирают один раз для всей функции, а x может принимать разные значения. Поэтому изменение аргумента меняет показатель степени, а не основание.

Область определения показательной функции — все действительные числа: x ∈ R. При положительном основании степень a^x можно определить не только для целых, но и для дробных и иррациональных показателей. Именно это расширение понятия степени позволяет подставлять в функцию любое действительное число.

Множество значений функции — все положительные числа: y > 0. Степень положительного числа не может быть отрицательной или нулевой. Это свойство сразу показывает, что график показательной функции располагается выше оси Ox.

Как это устроено

Сначала степень определяют для натуральных показателей как повторное умножение, затем распространяют это правило на нулевые и отрицательные целые показатели. Для дробного показателя используют корни, например a^(1/n) = ⁿ√a, а для произвольного действительного показателя — приближение рациональными числами. При a > 0 такое расширение согласуется с правилами степеней и делает выражение a^x однозначным.

Поведение функции зависит от положения основания относительно единицы. Если a > 1, то при увеличении показателя каждый следующий множитель увеличивает степень, поэтому функция возрастает. Если 0 < a < 1, можно записать a = 1/b при b > 1, тогда a^x = 1/b^x: рост b^x в знаменателе приводит к убыванию значения.

При x = 0 для любого допустимого основания получаем a⁰ = 1, поэтому график проходит через точку (0; 1). Значение a^x всегда положительно, следовательно, точки графика находятся только над осью Ox и пересечь её не могут. Это позволяет заранее проверять область расположения графика, даже не строя его по таблице значений.

При движении вправо график y = a^x при a > 1 быстро поднимается, а при 0 < a < 1 приближается к оси Ox. При движении влево происходит обратное: в первом случае значения стремятся к нулю, во втором растут. Ось Ox называют горизонтальной асимптотой — прямой, к которой график приближается, не достигая её.

Разные основания меняют скорость роста или убывания, но не основные свойства графика. Например, y = 3^x растёт быстрее, чем y = 2^x, потому что при одинаковом положительном показателе тройка даёт большую степень. Графики оснований, взаимно обратных друг другу, связаны обменом поведения при увеличении и уменьшении x.

Свойства показательной функции y = a^x

В таблице сначала определите, к какому промежутку относится основание: a > 1 или 0 < a < 1. Затем используйте соответствующий столбец для определения монотонности и направления движения графика. Область определения, множество значений, точка (0; 1) и асимптота в обоих случаях одинаковы.

Разбор задач

Задача 1

Условие: Для функции y = 3^x укажите область определения и множество значений, а также найдите значение функции при x = 2.

1. Основание равно 3, поэтому оно положительно и не равно единице: функция является показательной.
2. Для любой показательной функции область определения — R, а множество значений состоит из положительных чисел: y ∈ (0; +∞).
3. Подставим x = 2: y = 3² = 9.

Ответ: область определения R, множество значений (0; +∞), значение функции при x = 2 равно 9.

Задача 2

Условие: Сравните числа 2⁻³ и 2⁻¹, не переводя их в десятичные дроби.

1. Рассмотрим функцию y = 2^x. Так как 2 > 1, она возрастает на всей области определения.
2. Сравним показатели: −3 < −1.
3. У возрастающей функции большему показателю соответствует большее значение, поэтому порядок степеней совпадает с порядком показателей.

Ответ: 2⁻³ < 2⁻¹.

Задача 3

Условие: Решите уравнение (1/3)^(2x − 1) = 27.

1. Представим правую часть через основание 1/3: 27 = 3³ = (1/3)⁻³.
2. Получаем равенство степеней с одинаковым основанием: (1/3)^(2x − 1) = (1/3)⁻³.
3. Основание 1/3 положительно и не равно единице, поэтому функция взаимно однозначна: показатели равны. Следовательно, 2x − 1 = −3, откуда 2x = −2 и x = −1.

Ответ: x = −1.

Типичные ошибки

1. Считать, что основание может быть любым числом. Отрицательные основания не дают действительной степени при любом x, а при a = 0 возникают ограничения. Проверяйте два условия: a > 0 и a ≠ 1.

2. Путать основание и показатель. В записи a^x основание a остаётся постоянным, а x меняется и является аргументом. Перед решением подпишите для себя, какое число возводят в степень, а какое стоит в показателе.

3. Указывать ноль среди значений функции. Поскольку a^x > 0, нуль не входит в множество значений, хотя к нему график может приближаться. Проверьте это также по положению графика: он не пересекает ось Ox.

4. Считать функцию возрастающей при любом основании. Это верно только при a > 1; для 0 < a < 1 функция убывает. Сначала сравните основание с единицей, а уже потом сравнивайте значения или решайте неравенство.

Связь с другими темами

Для работы с показательной функцией нужны свойства степени: умножение и деление степеней с одинаковым основанием, переход к обратному основанию и правила действий с показателями. Также используются понятия функции, области определения, множества значений и монотонности. Позже эти знания помогут решать показательные уравнения и неравенства, а сама функция станет моделью роста населения, процентов, распространения и других процессов.

Что запомнить

• Показательная функция имеет вид y = a^x, где a > 0 и a ≠ 1.
• Область определения показательной функции — все действительные числа.
• Множество значений — все положительные числа.
• График проходит через точку (0; 1).
• При a > 1 функция возрастает, а при 0 < a < 1 убывает.
• График не пересекает ось Ox; эта ось является горизонтальной асимптотой.