§ 1. Понятие кривой

Определения и обозначения

Кривая — геометрическая фигура, которую можно представить как след непрерывно движущейся точки. Иными словами, точка перемещается, не совершая скачков, а все места, через которые она проходит, образуют кривую. Такое представление позволяет изучать линию как совокупность её точек. Поэтому к кривым относят не только изогнутые линии, но и, например, отрезок.

Плоская кривая — кривая, все точки которой лежат в одной плоскости. Плоскость здесь — ровная бесконечная поверхность, подобная идеализированной поверхности листа. Если для всех точек кривой можно найти одну такую плоскость, кривая плоская. Если нельзя, кривая является пространственной и выходит за пределы любой одной плоскости.

Простая кривая — кривая, не имеющая самопересечений. Самопересечение возникает, когда движущаяся точка проходит через одну и ту же точку на разных участках движения; при этом концы кривой могут быть отдельными точками. Признак помогает отличать линию, которая не пересекает сама себя, от линии с повторным прохождением через точку. Замкнутость для простоты не обязательна.

Замкнутая кривая — кривая, у которой начальная и конечная точки совпадают. Значит, движение по ней заканчивается там же, где началось, и у неё нет двух разных концов. Если эти точки различны, кривая открытая. Замкнутость говорит только о концах, а не об отсутствии самопересечений.

Как это устроено

Представим, что точка начинает двигаться и оставляет за собой видимый след. Поскольку движение непрерывное, точка не перескакивает через промежутки, а проходит все места между началом и концом пути. Этот набор пройденных точек и рассматривают как одну геометрическую фигуру — кривую. Такой взгляд полезен: мы можем задавать признаки фигуры через движение, даже если её форма сложная.

Плоскость — это не то же самое, что поверхность, на которой нарисована линия. Чтобы кривая была плоской, должна существовать одна плоскость, содержащая каждую её точку. Например, линия на поверхности шара не обязательно плоская: изгиб поверхности сам по себе не позволяет заключить, что линия целиком находится в какой-то плоскости. Если же никакая плоскость не содержит всю кривую, её называют пространственной. Значит, классификация зависит от расположения точек, а не от способа изображения.

Чтобы проверить простоту, можно мысленно проследить движение точки и следить, не возвращается ли она в уже посещённую точку на другом участке. Если возвращается, есть самопересечение, и кривая не простая. Если повторов нет, кривая простая; при этом начальная точка может совпасть с конечной, поскольку это признак замкнутости. В некоторых определениях простую замкнутую линию считают допустимой: совпадение её концов не рассматривают как пересечение разных участков. Поэтому нужно отличать замыкание пути от встречи участков кривой.

Для классификации по концам зададим направление движения: укажем, откуда точка стартует и где останавливается. Если это одна и та же точка, кривая замкнутая; если разные — открытая. Например, при движении по дуге окружности от одного её конца к другому получаем открытый путь, а полный обход окружности приводит обратно в начальную точку. Направление помогает назвать концы, но саму форму линии не меняет.

Плоский рисунок может создавать неверное впечатление: линии, нарисованные рядом, иногда кажутся пересекающимися, хотя в пространстве проходят на разной высоте. И наоборот, точки, которые на схеме выглядят раздельными, могут по условию обозначать одну и ту же точку. Поэтому проверяют не только изображение, но и то, какие места траектории действительно совпадают. Это особенно важно для определения самопересечения и для различения плоской и пространственной кривых.

Виды кривых и признаки их распознавания

У кривой может быть сразу несколько признаков: например, она может быть плоской и замкнутой. Пользуйся таблицей, чтобы проверять каждый признак отдельно, не делая вывод о простоте только по совпадению концов. При сомнении представь движение точки и выясни, какие точки она посещает повторно.

Разбор задач

Задача 1. Определить, является ли отрезок кривой в смысле определения, и указать его концы. Здесь не нужно решать, изгибается ли отрезок: проверим, можно ли представить его как путь непрерывно движущейся точки. Это позволит применить определение напрямую.

1. Представим движение точки от одного конца отрезка к другому.
2. Точка проходит все промежуточные точки пути без скачков, поэтому её следом служит весь отрезок.
3. Назовём началом тот конец, откуда точка стартовала, а концом — тот, где движение остановилось.

Ответ: отрезок является кривой, его концы — начальная и конечная точки выбранного движения. Если изменить направление, эти роли поменяются местами.

Задача 2. По рисунку классифицировать дугу окружности и окружность как открытые или замкнутые кривые. Сравним не длину линий и не их изгиб, а начальную и конечную точки движения. Для дуги выберем движение от одного её конца к другому, а для окружности — полный обход.

1. На дуге точка начинает движение в одном конце и останавливается в другом.
2. Концы дуги различны, поэтому она является открытой кривой.
3. При движении по окружности точка возвращается в исходное место после полного обхода.

Ответ: дуга окружности открытая, окружность замкнутая. Вывод следует из сравнения концов движения, а не из того, что обе линии выглядят изогнутыми.

Задача 3. По изображению кривой с пересечением определить, является ли она простой, и объяснить, какие точки совпадают. На схеме видно, что два участка проходят через одну точку. Нужно убедиться, что это действительно одна точка кривой, а не кажущееся пересечение линий, расположенных на разной высоте.

1. Представим движение по кривой и отметим место пересечения.
2. Если точка проходит через это место сначала на одном участке, а затем на другом, она посещает одну и ту же точку повторно.
3. Такое повторное прохождение означает самопересечение, а значит, кривая не является простой.

Ответ: если пересекающиеся участки действительно имеют общую точку, кривая не простая. Если на изображении они лишь кажутся пересекающимися, вывод без сведений о расположении кривой в пространстве делать нельзя.

Типичные ошибки

Считать кривой только линию с изгибами — ошибка: так можно забыть, что отрезок тоже получается движением точки. Обычно мешает бытовое значение слова «кривая», связанное с чем-то неровным. Проверь определение: спроси, может ли точка непрерывно пройти всю фигуру. Для отрезка такое движение возможно, поэтому он тоже кривая.

Путать замкнутость с простотой — значит смешивать разные вопросы: совпадают ли концы и пересекает ли кривая сама себя. Их часто объединяют, потому что оба признака замечают, глядя на линию целиком. Проверяй их по отдельности: сначала сравни начало и конец движения, затем ищи повторное прохождение через точку на разных участках.

Считать любое пересечение на рисунке самопересечением нельзя, потому что плоская схема может показывать пространственные участки, проходящие на разной высоте. Такая ошибка появляется, когда рисунок принимают за точное отображение расположения точек. Проверь, задано ли пересечение как общая точка кривой. Если данных недостаточно, не делай уверенный вывод только по внешнему виду.

Называть кривую плоской лишь потому, что она нарисована на листе, тоже неверно: лист — способ изображения, а не доказательство расположения всех точек. Объёмную линию можно изобразить на плоскости, сохранив не все её пространственные особенности. Для проверки спроси, существует ли одна плоскость, в которой лежит вся кривая. Если этого установить нельзя, рисунка недостаточно для вывода.

Связь с другими темами

Чтобы пользоваться понятием кривой, нужно знать, что такое геометрическая фигура, точка и плоскость, а также понимать непрерывное движение: точка проходит путь без скачков. Эти идеи помогают не ограничиваться внешним видом линии и точно описывать её точки. В дальнейшем понятие кривой пригодится при изучении окружности и дуги, где сравнивают начало и конец пути. Оно также применяется к графикам функций и линиям в пространстве, которые анализируют по расположению точек и пересечениям.

Что запомнить

• Кривая может рассматриваться как след непрерывного движения точки.
• Плоская кривая целиком лежит в одной плоскости.
• Простая кривая не имеет самопересечений.
• У замкнутой кривой начальная и конечная точки совпадают.
• Замкнутость и простота — разные признаки кривой.
• При классификации важно различать реальные совпадения точек и особенности рисунка.