"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия (базовый и углублённый уровни)", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Сечение многогранника — многоугольник, который получается, когда плоскость пересекает его поверхность. Чтобы построить его, находят точки пересечения секущей плоскости с рёбрами и соединяют их по граням: сторона сечения лежит в грани, а вершина — на ребре или в вершине многогранника. Если известных точек недостаточно, помогают параллельность следов и вспомогательные плоскости. Готовый контур должен быть замкнутым и проходить внутри многогранника.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сечение многогранника — многоугольник, полученный при пересечении многогранника плоскостью. Его стороны располагаются в плоскостях граней, а вершины лежат на рёбрах или совпадают с вершинами многогранника. Это определение подсказывает, где искать точки будущего контура: на поверхности фигуры, а не произвольно внутри неё. По сечению можно понять, какую форму плоскость вырезает из многогранника.
След плоскости на грани — прямая, по которой секущая плоскость пересекает плоскость грани. Внутри самой грани след обычно виден лишь как отрезок: за её границами он уже не является частью сечения многогранника. Такой отрезок и образует сторону сечения. След нужен, чтобы последовательно переходить от одной грани к соседней.
След плоскости на грани многогранника также называют отрезком внутри грани, который является стороной сечения; его концы принадлежат рёбрам грани. Важно различать прямую следа и её часть, ограниченную поверхностью грани. При построении находят прямую, а затем проверяют, какой именно её отрезок проходит внутри грани. Это помогает не включить в контур линии, лежащие за пределами многогранника.
Вспомогательная плоскость — дополнительная плоскость, которую вводят, чтобы найти точки или прямые сечения. Её выбирают так, чтобы она проходила через уже известные точки и пересекала нужные грани или рёбра. Пересекая вспомогательную плоскость с секущей, получают прямую, на которой лежат точки обеих плоскостей. Этот приём связывает разнесённые по фигуре данные и помогает продолжить построение.
Секущая плоскость пересекает поверхность многогранника по линиям, каждая из которых лежит в грани. Грани ограничены рёбрами, поэтому стороны сечения начинаются и заканчиваются на рёбрах или в вершинах многогранника. Отсюда следует удобный способ построения: сначала найти точки пересечения плоскости с рёбрами, а затем соединить соседние точки по граням. Если соединять точки без учёта граней, полученная линия может пройти вне поверхности.
Когда на одной грани уже есть две точки сечения, через них проводят прямую — след секущей плоскости на этой грани. Затем находят, где эта прямая пересекает рёбра, ограничивающие грань, и оставляют только часть следа внутри неё. Новые точки на рёбрах становятся исходными для построения на соседних гранях. Так работа продвигается по поверхности многогранника, а не отдельными несвязанными отрезками.
Иногда на соседней грани известна только одна точка, и провести след пока нельзя. Тогда помогает параллельность: если секущая плоскость пересекает две параллельные плоскости, линии пересечения параллельны. Например, грани призмы, расположенные в параллельных плоскостях, дают параллельные следы секущей плоскости. Найдя направление по известному следу, можно провести его на другой грани и определить недостающие пересечения с рёбрами.
Если заданные точки находятся на гранях, которые не имеют общего ребра, непосредственный переход между ними затруднён. Вводят вспомогательную плоскость, проходящую через подходящие заданные точки, и находят линию её пересечения с секущей плоскостью. Эта линия принадлежит обеим плоскостям, поэтому её пересечения с нужными гранями или рёбрами дают дополнительные точки. Выбирая вспомогательную плоскость, удобно заранее проверить, что она пересекает те части многогранника, где требуется продолжить построение.
Каждый найденный отрезок нужно чертить только внутри той грани, которой он принадлежит. На общем ребре соседних граней их следы обязаны встретиться в одной и той же точке: иначе построение противоречиво. После обхода поверхности контур должен вернуться к начальной точке и образовать замкнутый многоугольник. Такая проверка позволяет заметить пропущенную вершину, неверный порядок соединения или точку, взятую на продолжении ребра за пределами фигуры.
Таблица помогает выбрать следующий шаг по тому, какие данные уже есть на гранях. Начинай с известного следа, а затем проверяй переходы через рёбра или обоснованность вспомогательного построения. Если результат не проходит проверку в последнем столбце, нужно пересмотреть найденные точки.
| Ситуация | Приём | Что проверить |
|---|---|---|
| Известны две точки сечения на одной грани | Провести через них прямую и найти её пересечения с рёбрами грани | Отрезок сечения лежит внутри грани |
| След нужно перенести на соседнюю грань | Использовать общие рёбра граней и продолжить построение через найденные точки | Соседние отрезки имеют общую точку на общем ребре |
| На грани известна только одна точка, а направление следа можно определить | Использовать параллельность следов или вспомогательную плоскость | Полученные точки действительно принадлежат секущей плоскости |
| Заданные точки лежат на несмежных гранях | Провести вспомогательную плоскость через заданные точки и найти линию её пересечения с секущей плоскостью | Вспомогательная линия пересекает нужные рёбра или грани |
Условие. В тетраэдре заданы три точки на трёх рёбрах. Требуется построить сечение плоскостью, проходящей через эти точки. Точки задают искомую секущую плоскость, но не каждая пара из них обязательно лежит на одной грани. Поэтому начинаем с грани, на которой находятся две заданные точки, если такая грань есть.
Ответ. Искомое сечение — замкнутый многоугольник, составленный из найденных отрезков на гранях тетраэдра. Конкретный порядок вершин зависит от того, на каких именно рёбрах расположены заданные точки. Перед завершением нужно проверить, что каждый переход сделан через общее ребро соседних граней.
Условие. На двух рёбрах одной боковой грани призмы заданы две точки, а на ребре другой боковой грани — третья. Нужно построить сечение. Две точки на одной грани сразу определяют её след, а для перехода к другой грани потребуется найти общие рёбра и использовать устройство призмы. Параллельность её соответствующих граней или рёбер помогает установить направление нового следа.
Ответ. Сечение образуют последовательно соединённые отрезки следов на гранях призмы. Число его вершин нельзя определить только по общему описанию: оно зависит от расположения заданных точек и от того, какие рёбра пересекает плоскость. Поэтому окончательный контур проверяют по фактическим пересечениям с рёбрами.
Условие. В параллелепипеде заданы точки на рёбрах, не принадлежащих одной грани. Требуется построить сечение и определить все его вершины. Поскольку через точки на разнесённых гранях нельзя сразу провести сторону по поверхности, сначала нужно получить связывающую линию. Для этого используют вспомогательную плоскость.
Ответ. Все вершины искомого сечения — точки, в которых секущая плоскость пересекает рёбра или вершины параллелепипеда. Их точное количество и положение зависят от координат заданных точек, поэтому без дополнительных данных численный список вершин не определяется. Построение считается завершённым, когда получен замкнутый контур, все стороны которого лежат в гранях.
Первая ошибка — сразу соединить две заданные точки, не проверив, лежат ли они на одной грани. Так поступают, потому что отрезок между точками выглядит естественным продолжением построения, но он может пройти вне поверхности многогранника. Проверь, в какой грани должна лежать сторона сечения, и проведи отрезок только внутри неё. Если общей грани нет, сначала найди промежуточные точки или воспользуйся вспомогательной плоскостью.
Вторая ошибка — считать вершиной сечения любую точку пересечения прямой с продолжением ребра. Это происходит, когда не учитывают границы самого многогранника. Точка на продолжении ребра за пределами фигуры не принадлежит её поверхности и не входит в контур. Сверь положение точки с отрезком-ребром, а не только с прямой, на которой этот отрезок лежит.
Третья ошибка — переносить след на соседнюю грань без проверки общего ребра. Тогда соседние отрезки могут встретиться в разных точках, хотя обе грани имеют одно и то же ребро. При переходе убедись, что конец каждого следа лежит на общем ребре и совпадает с соответствующей точкой соседнего следа. Если точки не совпадают, пересмотри построение прямой или её пересечение с ребром.
Четвёртая ошибка — остановиться до замыкания контура или соединить найденные точки в неверном порядке. Это случается, когда строят отдельные стороны, не обходя грани последовательно. После каждого шага отмечай, на какой грани находится отрезок и через какое ребро продолжается построение. В конце пройди весь контур: последняя сторона должна вернуться к первой вершине, а все отрезки должны лежать внутри граней.
Для построения сечений нужны знания о том, как задаются плоскости и прямые и как находить их пересечения. Приёмы параллельности прямых и плоскостей объясняют, как определить направление следа, если на грани известна лишь одна точка. Поэтому полезно уверенно различать прямую и отрезок, а также понимать, как связаны соседние грани.
Эти способы применяют к пирамидам, призмам и другим многогранникам, а также в задачах о взаимном расположении прямых и плоскостей. Построение сечения связано и с изображением пространственных фигур на чертеже: оно показывает форму многоугольника внутри многогранника и его положение относительно рёбер и граней. Навык последовательного перехода по граням помогает читать такие чертежи без догадок.
Как понять, какие точки нужно соединять при построении сечения?
Сначала проверь, лежат ли точки на одной грани: тогда через них проходит прямой след секущей плоскости. Соединяй только те точки, между которыми отрезок находится внутри этой грани. Если точек на грани пока недостаточно, найди новые с помощью общих рёбер или вспомогательных построений.
Почему отрезок между двумя точками сечения не всегда является стороной сечения?
Сторона сечения должна лежать в плоскости одной грани. Если точки расположены на разных, несмежных гранях, отрезок между ними может пройти вне многогранника или через его внутренность, а не по грани.
Как продолжить построение, если на грани известна только одна точка?
Нужно определить направление следа на этой грани. Для этого используют параллельность следу на другой грани либо находят дополнительную точку с помощью вспомогательной плоскости.
Зачем вводить вспомогательную плоскость?
Она помогает связать заданные точки, расположенные на разных гранях, с нужными рёбрами многогранника. Пересечение вспомогательной плоскости с секущей задаёт прямую, по которой можно находить новые точки сечения.
Как проверить, что построенное сечение замкнуто и выполнено правильно?
Пройди по контуру: каждый его отрезок должен лежать внутри отдельной грани, а соседние отрезки должны встречаться на общем ребре или в вершине. Последняя сторона должна соединить конец построения с его началом, не выходя за грани многогранника.
§ 3. Практические приёмы использования сечений
