"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия (базовый и углублённый уровни)", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Сечение многогранника — многоугольник, который получается при пересечении его секущей плоскостью. Его вершины лежат на рёбрах многогранника или совпадают с его вершинами, а стороны находятся в плоскостях граней. Чтобы построить сечение, проводят следы секущей плоскости на гранях и последовательно соединяют найденные точки. Условия параллельности прямой или плоскости помогают определить направление этих следов и получить правильный замкнутый многоугольник.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сечение многогранника — многоугольник, по которому секущая плоскость пересекает его грани. Его вершины лежат на рёбрах многогранника или совпадают с его вершинами. Это помогает понять, где искать точки будущего многоугольника.
Секущая плоскость — плоскость, пересекающая многогранник. Её пересечения с плоскостями граней образуют линии, а части этих линий внутри граней становятся сторонами сечения. Поэтому положение секущей плоскости определяет весь вид многоугольника.
След плоскости на грани — прямая, по которой секущая плоскость пересекает плоскость данной грани. Внутри грани берут только отрезок этого следа, ограниченный её рёбрами. Следы на соседних гранях соединяются на общем ребре и задают стороны сечения.
Параллельные плоскости — плоскости, не имеющие общих точек. Если секущая плоскость параллельна заданной плоскости, их следы на каждой грани имеют одинаковые направления. Это позволяет строить сечение по параллельности, даже когда его вершины заранее не указаны.
Выпуклый многогранник пересекается с плоскостью по выпуклой фигуре. На каждой грани плоскость даёт отрезок, потому что граница грани ограничивает бесконечную линию пересечения. Соседние отрезки встречаются на общем ребре, поэтому вместе образуют замкнутый многоугольник.
Если плоскость должна проходить через заданные точки, сначала определяют, на каких рёбрах или гранях они находятся. На каждой грани соединяют точки отрезком следа, не выходя за её границы. Конец такого отрезка на ребре становится началом построения на соседней грани, поэтому работа постепенно охватывает весь многогранник.
Параллельность прямых задаёт направление следа секущей плоскости. Если плоскость сечения параллельна данной прямой, то эта прямая имеет направление внутри секущей плоскости; значит, её следы на гранях проводят параллельно этому направлению. На разных гранях направление изображают по-разному, но пространственно это одна и та же параллельность.
Чтобы построить сечение, параллельное заданной плоскости, рассматривают направления, которые данная плоскость получает при пересечении с гранями. На соответствующих гранях проводят следы нового сечения параллельно этим направлениям. Так сохраняется параллельность двух плоскостей, а пересечения следов с рёбрами дают вершины искомого многоугольника.
Построение ведут по соседним граням, потому что каждая уже найденная сторона сообщает, где продолжить работу. Её конец лежит на общем ребре или задаёт направление следующего следа. Если переходить между случайными гранями, можно получить несогласованные линии и незамкнутую фигуру.
Сначала определите, что именно задано: точки, направление прямой или направление плоскости. Затем после каждого шага проверяйте, лежит ли полученный отрезок внутри грани и состыковывается ли он с соседним следом.
| Условие задачи | Что задаёт построение | Основной приём | Что проверить |
|---|---|---|---|
| Плоскость проходит через заданные точки | Положение точек на рёбрах или гранях | Соединять точки следами на гранях и последовательно находить пересечения с рёбрами | Каждая сторона сечения лежит в грани многогранника |
| Плоскость параллельна заданной прямой | Направление, параллельное этой прямой | Проводить на гранях следы сечения параллельно заданному направлению | Построенные следы согласованы на общих рёбрах |
| Плоскость параллельна заданной плоскости | Направления пересечения заданной плоскости с гранями | Строить следы сечения параллельно соответствующим следам заданной плоскости | Стороны сечения не пересекаются с заданной плоскостью |
Условие. В тетраэдре провести сечение через три заданные точки, лежащие на трёх рёбрах. Нужно определить, как соединить точки и завершить построение.
Ответ. Искомое сечение получают из отрезков следов на гранях; при обычном положении трёх точек это треугольник, вершинами которого являются заданные точки.
Условие. Построить сечение призмы плоскостью, проходящей через заданную точку и параллельной одному из рёбер. Главное здесь — сохранить одно направление на всех гранях.
Ответ. Сечение состоит из согласованных следов, параллельных заданному ребру, и замыкается после обхода боковых граней.
Условие. Построить сечение пирамиды плоскостью, параллельной плоскости основания и проходящей через точку на боковом ребре. Требуется найти все вершины сечения и установить его форму.
Ответ. Сечение параллельно основанию и подобно ему. Его размер зависит от положения секущей плоскости: чем ближе она к вершине, тем меньше сечение.
Заданными точками иногда сразу соединяют отрезком, не проверяя общую грань. Так делают, потому что в плоской задаче любые две точки соединяются напрямую. Проверьте, лежит ли отрезок в одной грани; иначе сначала найдите промежуточные следы.
След продолжают за пределы грани или не учитывают её границы. Причина ошибки — смешение бесконечной прямой и части этой прямой внутри многогранника. Оставляйте только отрезок между рёбрами данной грани.
На всех гранях проводят линии параллельно заданной прямой одинаковым способом. Но положение граней в пространстве различно, поэтому направление нужно согласовывать с каждой гранью. Проверяйте, что соседние следы встречаются на общем ребре в одной точке.
Параллельность секущей плоскости основанию принимают за равенство сечения основанию. Обычно в пирамиде получается лишь подобная фигура другого размера. Сравните положение плоскостей и учтите расстояние сечения от вершины.
Для построения сечений нужны навыки нахождения пересечения прямых и плоскостей, построения следов плоскости и применения признаков параллельности прямых и плоскостей. Эти действия превращают пространственную задачу в последовательность плоских построений на гранях.
Сечения помогают решать задачи на площади и объёмы многогранников. Они также нужны при изучении взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве, поскольку показывают, как пространственная фигура выглядит в выбранной плоскости.
Как понять, на каких рёбрах будут лежать вершины сечения?
Вершины сечения появляются там, где секущая плоскость пересекает рёбра многогранника. Их находят по заданным точкам и по пересечениям следов плоскости с рёбрами.
Почему нельзя просто соединить все заданные точки?
Отрезок, соединяющий две точки, является стороной сечения только тогда, когда обе точки лежат на одной грани и отрезок находится внутри этой грани. Если точки принадлежат разным граням, сначала нужно построить следы плоскости на промежуточных гранях.
Как продолжить построение, если след сечения пересёк только часть граней?
На общей грани соседних участков нужно найти точку или направление продолжения следа. Затем построение переносят на следующую грань и повторяют этот шаг, пока линия не замкнётся.
Как использовать условие о параллельности плоскости при построении?
Если секущая плоскость параллельна заданной плоскости, её следы на гранях проводят параллельно соответствующим следам заданной плоскости. Эти направления позволяют восстановить положение сечения без непосредственного задания всех его вершин.
Чем сечение, параллельное основанию, отличается от самого основания?
Оно лежит в другой плоскости и обычно имеет другой размер. В пирамиде такое сечение подобно основанию, а в призме сечение плоскостью, параллельной основанию, равно ему по форме и размеру.
§ 2. Построение сечений, параллельных прямым и плоскостям
