"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия (базовый и углублённый уровни)", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Сечение многогранника — многоугольник, который получается при пересечении его с секущей плоскостью. Чтобы построить сечение по трём точкам, сначала задают плоскость этими точками, а затем находят её пересечения с гранями и рёбрами. Основная идея — переходить с одной грани на соседнюю через общее ребро, учитывая параллельность граней. Готовая линия должна оставаться внутри многогранника и замыкаться в многоугольник.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Секущая плоскость — плоскость, пересекающая многогранник, его грани и рёбра. Она проходит через часть тела и разделяет его поверхность на участки, поэтому для построения сечения нужно отследить, где эта плоскость встречает грани. Обозначать её можно, например, буквами α или PQR.
Сечение многогранника — многоугольник, являющийся общей частью многогранника и секущей плоскости. Его стороны лежат на гранях, а вершины обычно находятся на рёбрах или в вершинах многогранника. Это определение помогает отличить настоящее сечение от линии, которая лишь пересекает отдельные грани.
След плоскости на грани — прямая, по которой секущая плоскость пересекает плоскость грани. На самом многограннике след виден только в пределах грани: там он даёт сторону сечения или её часть. След нужен, чтобы точно переносить построение с одной грани на другую.
Три точки, задающие плоскость, — три точки, не лежащие на одной прямой; через них проходит единственная плоскость. Если точки обозначены P, Q и R, плоскость можно назвать PQR. Проверка того, что точки не коллинеарны, нужна, чтобы задача действительно задавала одну секущую плоскость.
Сначала по трём заданным точкам определяют секущую плоскость и проверяют, что точки не лежат на одной прямой. Иначе через них можно провести не одну плоскость, и сечение нельзя будет однозначно построить. Затем выясняют, на каких гранях расположены точки: это подсказывает, где можно сразу провести след, а где потребуется вспомогательное построение.
Если две заданные точки лежат на одной грани, через них проводят прямую — след секущей плоскости на плоскости этой грани. На чертеже отмечают её пересечения с рёбрами, ограничивающими грань. Эти точки важны не только для данного участка: через них сечение переходит на соседние грани.
Чтобы продолжить построение, рассматривают соседнюю грань и их общее ребро. Точка, в которой первый след пересекает общее ребро, принадлежит секущей плоскости и соседней грани. Поэтому через неё можно провести следующий след, используя ещё одну известную точку этой плоскости или найденное пересечение с другим ребром. Так построение последовательно распространяется по поверхности многогранника.
Если заданные точки находятся на разных гранях, провести между ними прямую как сторону сечения обычно нельзя: она может пройти вне граней. Тогда ищут вспомогательные следы на гранях, содержащих точки, и связывают эти следы через общие рёбра. Если подходящие грани параллельны, используют свойство: следы одной плоскости на параллельных плоскостях параллельны. Это позволяет восстановить направление следа на второй грани.
Найденные отрезки соединяют в том порядке, в котором они проходят по граням многогранника. Каждый отрезок должен находиться внутри своей грани, а переход к следующему отрезку — происходить на общем ребре соседних граней. В конце проверяют, что линия замкнулась и не содержит участков за пределами тела: только тогда получен многоугольник-сечение.
Таблица помогает выбрать первый шаг в зависимости от того, где расположены известные точки. Если прямую через две точки нельзя сразу использовать как след на одной грани, начните со вспомогательных следов и ищите связь через рёбра. При каждом переходе проверяйте, что найденные точки принадлежат именно нужным граням.
| Расположение известных точек | Что построить | На чём основано построение |
|---|---|---|
| Две точки лежат на одной грани | Прямую через эти точки и её пересечения с рёбрами грани | След секущей плоскости на плоскости грани |
| Точки расположены на соседних гранях | След на каждой грани и общую точку следов на общем ребре | Соседние грани имеют общее ребро |
| Точки находятся на параллельных гранях | Следы на этих гранях и соответствующие точки пересечения с рёбрами | Следы секущей плоскости на параллельных плоскостях параллельны |
| Нельзя сразу провести прямую через две заданные точки на одной грани | Вспомогательные следы на гранях, содержащих заданные точки | Принадлежность точек одной секущей плоскости и общие рёбра граней |
В тетраэдре ABCD точки P, Q и R лежат соответственно на рёбрах AB, AC и AD. Нужно построить сечение плоскостью PQR. Каждая пара точек расположена на грани, содержащей вершину A, поэтому на этих гранях можно сразу провести следы плоскости. Оставшуюся часть сечения предстоит найти на грани BCD.
Ответ: сечение — пятиугольник PQXYR. Точки X и Y находятся на рёбрах BC и BD соответственно и являются пересечениями продолжений следов с этими рёбрами. Рёбра и грани ограничивают сечение, поэтому в итоговый многоугольник входят только соответствующие отрезки внутри граней.
В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки P и Q — середины AB и AD, а R — середина CC₁. Требуется построить сечение плоскостью PQR. P и Q находятся на одной грани ABCD, значит, с построения PQ удобно начать. Точка R лежит на противоположной верхней по высоте части боковой грани, поэтому далее надо переходить по соседним граням.
Ответ: сечение строится как замкнутый многоугольник, проходящий через P, Q и R; его остальные вершины находят на рёбрах по следам на гранях. Конкретные промежуточные точки отмечают на чертеже по пересечениям, не подменяя отрезки рёбер их продолжениями. Такой порядок построения позволяет проверить каждый участок, прежде чем соединять весь контур.
В призме ABCA₁B₁C₁ точки P, Q и R лежат соответственно на рёбрах AB, B₁C₁ и AA₁. Постройте сечение плоскостью PQR. Здесь точки распределены по разным граням, поэтому одной прямой через две точки на общей грани начать нельзя. Используем боковые грани и параллельность рёбер призмы.
Ответ: сечение — замкнутый многоугольник, проходящий через P, Q и R; дополнительные вершины определяются пересечениями следов с рёбрами призмы. При построении используют общее ребро соседних граней и параллельность оснований. Финальная проверка состоит в том, что каждая сторона лежит в грани, а контур замкнут.
Ошибка: считать, что любые три точки задают единственную плоскость. Так думают, потому что в задачах обычно сразу называют три точки, но они могут лежать на одной прямой. Проверьте, что хотя бы одна из точек не лежит на прямой через две другие; если все три коллинеарны, данных недостаточно для единственного ответа.
Ошибка: соединять две заданные точки отрезком, не проверив, лежат ли они на одной грани. Такое соединение кажется естественным, но прямая между точками может пройти вне поверхности многогранника. Перед построением стороны убедитесь, что обе точки находятся на одной грани и отрезок относится к её следу.
Ошибка: продолжать линию сечения за границы грани или многогранника. Продолжение прямой может быть полезно как вспомогательное построение, но не является стороной сечения вне грани. Отделяйте вспомогательные линии от итогового контура и оставляйте в сечении только отрезки внутри граней.
Ошибка: не проверять замкнутость многоугольника и согласованность соседних отрезков. При переходе между гранями легко отметить разные точки на одном общем ребре или пропустить последний участок. Проследите контур по граням и убедитесь, что стороны сходятся на общих рёбрах, а последняя сторона возвращается к первой вершине.
Для построения сечения нужны знания о том, что три неколлинеарные точки определяют плоскость, и умение проводить прямую через две точки. Также понадобятся понятия грани, ребра и вершины многогранника: именно через них строится и проверяется линия сечения. Свойства параллельных прямых и плоскостей помогают переносить след между параллельными гранями. В дальнейшем сечения используют при изучении многогранников и решении задач на углы, расстояния и площади.
Почему для задания плоскости нужны именно три точки?
Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость. Две точки задают только прямую, а через неё можно провести бесконечно много плоскостей. Если все три точки лежат на одной прямой, плоскость ими однозначно не определяется.
Что делать, если две заданные точки не лежат на одной грани?
Не нужно сразу соединять их отрезком: он может не лежать ни на одной грани многогранника. Найдите грани, содержащие заданные точки, и постройте на них вспомогательные следы секущей плоскости. Затем продолжайте построение через общие рёбра или используйте параллельность граней.
Как найти продолжение сечения на соседней грани?
У соседних граней есть общее ребро. Найдите точку, в которой след сечения на первой грани пересекает это ребро, а затем проведите на соседней грани следующую часть сечения через эту точку. Точки пересечения должны лежать на самих отрезках рёбер, а не на их продолжениях за пределами многогранника.
Как использовать параллельные грани при построении?
Если секущая плоскость пересекает две параллельные грани, следы на них параллельны. Поэтому, построив след на одной грани, можно провести параллельный ему след на другой и найти его пересечения с рёбрами. Так проще перенести построение между удалёнными друг от друга частями многогранника.
Как проверить, что построенный многоугольник действительно является сечением?
Проверьте, что каждая сторона многоугольника лежит в грани многогранника, а её концы принадлежат этой грани. Соседние стороны должны переходить друг в друга на общих рёбрах, а весь контур — замыкаться. Ни один отрезок не должен выходить за границы многогранника.
§ 1. Построение сечений по трём точкам
