"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия (базовый и углублённый уровни)", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Формулы произведений и сумм тригонометрических функций позволяют заменять произведение синусов и косинусов суммой, а сумму или разность синусов и косинусов — произведением. Такие преобразования упрощают выражения, помогают доказывать тождества и решать уравнения. Главное — правильно выбрать формулу, вычислить полусумму и полуразность аргументов и не перепутать знаки.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Преобразование произведения в сумму — замена произведения синусов или косинусов суммой либо разностью тригонометрических функций. Например, sin α · sin β превращается в разность косинусов. Это удобно, когда с суммами аргументов работать проще, чем с произведением.
Преобразование суммы в произведение — запись суммы или разности синусов и косинусов в виде произведения двух функций. Такой вид часто позволяет вынести общий множитель или применить условие произведения, равного нулю. Например, сумму синусов можно представить как произведение синуса и косинуса.
Полусумма аргументов — число (α + β)/2, то есть половина суммы двух аргументов. В формулах суммы в произведение функции часто имеют именно этот аргумент. Он показывает среднее положение двух исходных аргументов.
Полуразность аргументов — число (α − β)/2, то есть половина разности аргументов в указанном порядке. От порядка зависит знак результата. Поэтому скобки при вычислении полуразности пропускать нельзя.
Формулы произведения в сумму получают из формул синуса и косинуса суммы и разности. Например, cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β, а cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β. При вычитании этих равенств произведения косинусов сокращаются, и остаётся 2sin α sin β. Деление на 2 даёт формулу для произведения синусов.
Произведение синуса и косинуса выводится похожим способом, но используются равенства sin(α + β) и sin(α − β). При их сложении слагаемые sin α cos β совпадают, а cos α sin β уничтожаются. Поэтому sin α cos β = ½(sin(α + β) + sin(α − β)).
Чтобы получить сумму в произведение, обозначим u = (α + β)/2 и v = (α − β)/2. Тогда α = u + v, а β = u − v, и исходная сумма записывается через формулы синуса или косинуса разности и суммы. После раскрытия скобок одинаковые множители объединяются, что и даёт произведение с аргументами u и v.
Знаки зависят от двух признаков: складываем мы функции или вычитаем, а также являются ли они синусами или косинусами. Для разности косинусов появляется отдельный минус: cos α − cos β = −2sin((α + β)/2)sin((α − β)/2). Произведение удобнее превращать в сумму при упрощении, а сумму — в произведение, когда аргументы связаны и нужно получить нулевой множитель.
| Исходное выражение | Формула |
|---|---|
| sin α · sin β | ½(cos(α − β) − cos(α + β)) |
| cos α · cos β | ½(cos(α − β) + cos(α + β)) |
| sin α · cos β | ½(sin(α + β) + sin(α − β)) |
| sin α + sin β | 2sin((α + β)/2)cos((α − β)/2) |
| sin α − sin β | 2cos((α + β)/2)sin((α − β)/2) |
| cos α + cos β | 2cos((α + β)/2)cos((α − β)/2) |
| cos α − cos β | −2sin((α + β)/2)sin((α − β)/2) |
Сначала определите вид исходного выражения: произведение, сумма или разность. Затем мысленно сопоставьте его с левым столбцом и только после этого подставляйте α и β. В формулах суммы в произведение отдельно вычисляйте полусумму и полуразность, сохраняя скобки.
Требуется преобразовать sin 5x · cos 2x. Здесь стоят синус и косинус, поэтому подходит формула произведения синуса и косинуса.
Ответ: sin 5x · cos 2x = ½(sin 7x + sin 3x).
Нужно представить cos 7x − cos 3x произведением и упростить его. Для разности косинусов используется формула с отрицательным знаком перед произведением.
Ответ: cos 7x − cos 3x = −2sin 5x sin 2x.
Докажем тождество sin 5x + sin x = 2sin 3x cos 2x, а затем найдём нули суммы. Слева стоит сумма синусов, поэтому сразу применяем соответствующую формулу.
Ответ: тождество доказано; x = πn/3 или x = π/4 + πn/2, n ∈ Z.
В разности косинусов забывают минус: пишут cos α − cos β = 2sin…sin… вместо правильного выражения с −2. Такая ошибка возникает из-за сходства формул; проверяйте её по таблице или выводом через формулы косинуса суммы и разности.
Полусумму и полуразность считают без скобок, например записывают 7x − 3x/2 вместо (7x − 3x)/2. Причина — неверный порядок действий; сначала заключайте весь числитель в скобки.
Меняют местами α и β в полуразности, не меняя знак результата. При перестановке аргументов α − β превращается в β − α, поэтому полуразность меняет знак. Сверяйте порядок с исходной записью.
Формулу суммы в произведение применяют к неподходящим слагаемым. Она работает только для суммы или разности соответствующих синусов либо косинусов, а не для произвольных выражений. Проверьте вид каждого слагаемого перед выбором формулы.
Для вывода этих формул нужны формулы синуса и косинуса суммы и разности аргументов. Также потребуются навыки раскрытия скобок, приведения подобных слагаемых и действий с алгебраическими выражениями.
Новые преобразования применяются при упрощении тригонометрических выражений, доказательстве тождеств и решении уравнений. Особенно полезно превращать сумму в произведение, когда после этого можно приравнять к нулю отдельные множители.
Как понять, какую формулу выбрать — произведения в сумму или суммы в произведение?
Если в выражении есть произведение синусов или косинусов, обычно применяют формулу произведения в сумму. Если даны сумма или разность синусов либо косинусов, используют формулу суммы в произведение.
Почему в формулах суммы в произведение появляются половины аргументов?
При выводе этих формул складывают или вычитают аргументы двух исходных функций. Поэтому новые аргументы естественно записываются как половина их суммы и половина их разности.
Как не перепутать знаки в формулах разности косинусов?
Запомните формулу: cos α − cos β = −2 sin((α + β)/2) sin((α − β)/2). Перед произведением обязательно стоит минус, поэтому полезно сначала записать формулу буквами и только потом подставлять аргументы.
Можно ли применять эти формулы, если аргументы содержат переменную?
Да, формулы верны для любых допустимых аргументов, в том числе для 5x, 7x и других выражений. Нужно аккуратно работать со скобками при нахождении их суммы, разности и половин.
Как проверить, что преобразование выполнено правильно?
Можно раскрыть полученное выражение с помощью формул суммы и разности аргументов. Для дополнительной проверки подставьте любое удобное значение переменной и сравните исходное и преобразованное выражения.
§ 6. Формулы произведений и сумм тригонометрических функций
