"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия (базовый и углублённый уровни)", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Формулы двойного и половинного аргумента связывают значения тригонометрических функций при углах x, 2x и x/2. Они помогают вычислять точные значения, упрощать выражения и преобразовывать квадрат синуса или косинуса. Главные формулы для sin 2x и cos 2x выводятся из формул сложения; для половинного угла появляется квадратный корень, а его знак зависит от четверти. Выбор удобной записи и проверка ограничений помогают избежать ошибок.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Формула двойного аргумента — выражение для sin 2x, cos 2x и tg 2x через функции от x. Например, вместо синуса удвоенного угла можно вычислить синус и косинус самого угла. Это удобно, когда известны значения функций при x, а требуется найти значение при 2x.
Формула половинного аргумента выражает sin(x/2), cos(x/2) или tg(x/2) через функции от x. При переходе от угла x к его половине возникают квадратные корни. Эти формулы помогают находить точные значения функций для углов, которые удобно представить как половину известного угла.
Аргумент — число или выражение, подставленное вместо угла в тригонометрическую функцию. В записи sin 2x аргументом является всё выражение 2x, а не значение sin x, умноженное на два. Различение аргумента и значения функции позволяет правильно читать формулы и не путать sin 2x с 2sin x.
Понижение степени — преобразование sin²x и cos²x с помощью формул, содержащих cos 2x. Например, из cos 2x = 1 − 2sin²x получаем sin²x = (1 − cos 2x)/2. Такие замены нужны, когда в выражении есть квадрат синуса или косинуса, а его удобнее представить через функцию от двойного угла.
Формулы двойного аргумента получаются из формул сложения, если оба слагаемых равны x. Подставляем y = x в выражения для синуса, косинуса и тангенса суммы. Это не отдельное правило наизусть, а частный случай уже знакомых формул сложения, поэтому вывод можно восстановить самостоятельно.
Для синуса формула сложения имеет вид sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y. После подстановки y = x получаем sin 2x = sin x cos x + cos x sin x. Слагаемые одинаковы, поэтому их сумма равна 2sin x cos x; множитель cos x нельзя отбросить, поскольку он возникает из формулы сложения.
Для косинуса сначала получаем cos 2x = cos²x − sin²x. Затем используем основное тригонометрическое тождество cos²x + sin²x = 1: заменяя одну из квадратных функций через другую, выводим cos 2x = 2cos²x − 1 и cos 2x = 1 − 2sin²x. Три записи равносильны, но в задаче выбирают ту, которая использует уже известное значение или подходит для преобразования выражения.
Формулы половинного аргумента выводятся из равенств для двойного угла: в них заменяют x на x/2, так что двойным углом становится x. Например, из cos x = 1 − 2sin²(x/2) выражают sin²(x/2), а затем извлекают квадратный корень. Аналогично из cos x = 2cos²(x/2) − 1 получают выражение для cos(x/2). Так как при извлечении корня теряется информация о знаке, в формулах появляется ±.
Знак корня выбирают не наугад: он определяется знаком синуса или косинуса угла x/2 в его четверти. Например, в первой четверти обе функции положительны, а во второй синус положителен, косинус отрицателен. Если положение угла не задано, можно оставить оба варианта знака. Формулы с тангенсом дополнительно требуют, чтобы используемые знаменатели не обращались в ноль и чтобы соответствующие тангенсы существовали.
| Функция | Формула двойного аргумента | Формула половинного аргумента | Условия и знак |
|---|---|---|---|
| sin x | sin 2x = 2sin x cos x | sin(x/2) = ±√((1 − cos x)/2) | Знак выбирают по знаку sin(x/2). |
| cos x | cos 2x = cos²x − sin²x = 2cos²x − 1 = 1 − 2sin²x | cos(x/2) = ±√((1 + cos x)/2) | Знак выбирают по знаку cos(x/2). |
| tg x | tg 2x = 2tg x/(1 − tg²x) | tg(x/2) = sin x/(1 + cos x) = (1 − cos x)/sin x | Знаменатели не равны нулю; функции должны существовать. |
Сначала найди в таблице нужную функцию и проверь, задан ли двойной или половинный угол. В формуле для косинуса двойного угла выбирай запись с тем квадратом, который известен или требуется преобразовать. Для половинного угла определи четверть, прежде чем выбирать знак корня.
Найдём cos x, потому что формула для sin 2x содержит обе функции. Из sin²x + cos²x = 1 следует cos²x = 1 − 9/25 = 16/25. В первой четверти косинус положителен, значит cos x = 4/5.
Подставим найденные значения в формулу sin 2x = 2sin x cos x. Получаем sin 2x = 2 · 3/5 · 4/5 = 24/25. Знак положительный, потому что вычисление непосредственно даёт произведение положительных чисел.
Для косинуса используем cos 2x = cos²x − sin²x. Подстановка даёт 16/25 − 9/25 = 7/25. Ответ: sin 2x = 24/25, cos 2x = 7/25.
Заменим cos 2x и sin 2x формулами двойного аргумента. В числителе используем cos 2x = 1 − 2sin²x, поэтому 1 − cos 2x = 2sin²x. Знаменатель равен 2sin x cos x.
Получаем дробь 2sin²x/(2sin x cos x). Сокращаем общий множитель 2sin x и получаем sin x/cos x = tg x. Сокращение допустимо только при sin x ≠ 0, а исходный знаменатель также должен быть ненулевым.
Условие sin 2x ≠ 0 равносильно 2sin x cos x ≠ 0, то есть sin x ≠ 0 и cos x ≠ 0. Поэтому результат равен tg x при этих ограничениях. Ответ: tg x, где sin x ≠ 0 и cos x ≠ 0.
Представим π/8 как половину угла: π/8 = (π/4)/2. Значит, в формуле половинного аргумента можно взять x = π/4. Для косинуса подходит выражение cos(x/2) = ±√((1 + cos x)/2).
Подставим cos(π/4) = √2/2. Тогда cos(π/8) = ±√((1 + √2/2)/2) = ±√((2 + √2)/4). Угол π/8 находится в первой четверти, где косинус положителен, поэтому выбираем знак плюс.
Извлекаем корень: cos(π/8) = √(2 + √2)/2. Ответ: √(2 + √2)/2. Положительный знак здесь следует из условия о четверти, а не из общего правила для всех углов.
Ошибка: записать sin 2x = 2sin x. Так происходит, когда двойной аргумент принимают за удвоение значения функции и забывают формулу сложения синуса. Проверь запись подстановкой y = x в sin(x + y): обязательно получатся два множителя cos x, и итог будет 2sin x cos x.
Ошибка: использовать только одну запись cos 2x и не замечать остальные. Часто запоминают лишь cos²x − sin²x, хотя в условии уже дан квадрат синуса или косинуса. Сверься с тождеством sin²x + cos²x = 1 и выбери вид, который позволяет сразу подставить известное значение.
Ошибка: всегда ставить плюс перед корнем в формуле половинного аргумента. Корень сам по себе не определяет знак функции, а знак зависит от четверти угла x/2. Перед выбором знака найди четверть и проверь, какой знак у синуса или косинуса в ней.
Ошибка: применять формулу tg 2x, не проверив знаменатель и существование тангенса. Причина — формулу воспринимают как верную без ограничений при любом x. Проверь, что tg x определён, 1 − tg²x ≠ 0 и tg 2x существует; иначе используй другой способ или отдельно разбери граничный случай.
Для вывода формул двойного аргумента нужны формулы сложения, основное тригонометрическое тождество и знание знаков функций по четвертям. Поэтому умение преобразовывать суммы и определять четверть напрямую помогает решать задачи этого параграфа. Полезно также уверенно находить недостающую функцию по известному синусу или косинусу.
Новые формулы применяют при упрощении выражений, вычислении точных значений и решении тригонометрических уравнений. Формы cos 2x = 1 − 2sin²x и cos 2x = 2cos²x − 1 связаны с понижением степени. Преобразования двойного и половинного аргумента также помогают переходить между произведениями и суммами тригонометрических выражений.
Почему sin 2x не равен 2sin x?
При сложении аргументов действует формула sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b. Если положить a = b = x, оба слагаемых станут sin x cos x, поэтому sin 2x = 2sin x cos x. Значение синуса нельзя просто умножить на два.
Какую из трёх формул для cos 2x лучше использовать?
Выбирай запись, в которой уже есть выражение из условия задачи: cos²x − sin²x, 2cos²x − 1 или 1 − 2sin²x. Например, если известно sin x, обычно удобна последняя форма. Все три записи равносильны благодаря тождеству sin²x + cos²x = 1.
Почему в формулах половинного аргумента появляется знак ±?
При выводе формулы приходится извлекать квадратный корень из выражения для sin²(x/2) или cos²(x/2). Квадратный корень задаёт неотрицательное число, а сама функция может быть как положительной, так и отрицательной. Поэтому знак выбирают по четверти, где лежит угол x/2.
Как определить знак корня для конкретного угла?
Сначала определи, в какой четверти находится угол x/2, а затем вспомни знак нужной функции в этой четверти. Например, косинус положителен в I и IV четвертях, а синус — в I и II. Если четверть или диапазон угла не известны, знак может быть невозможно выбрать однозначно.
Можно ли применять формулу tg 2x при любом значении x?
Нет: тангенс x должен существовать, а знаменатель 1 − tg²x не должен равняться нулю. Кроме того, tg 2x существует только тогда, когда cos 2x ≠ 0. Перед применением формулы проверь эти условия.
§ 5. Формулы двойного и половинного аргумента
