"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия (базовый и углублённый уровни)", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Основные тригонометрические формулы связывают синус, косинус, тангенс и котангенс одного угла. Центральное равенство sin² α + cos² α = 1 верно для любого α, а из него выводятся формулы для тангенса и котангенса. Эти связи помогают находить неизвестные значения функций, упрощать выражения и проверять преобразования. Для правильного решения нужно следить, не обращается ли знаменатель в ноль, и учитывать знак функции.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Основное тригонометрическое тождество — равенство sin² α + cos² α = 1, верное при любом значении α. Оно связывает синус и косинус одного угла и позволяет найти одну из этих функций, если известна другая. Запись sin² α означает (sin α)², то есть квадрат значения синуса.
Тангенс угла — отношение синуса угла к его косинусу: tg α = sin α / cos α. Это определение имеет смысл только при cos α ≠ 0, иначе пришлось бы делить на ноль. Формула помогает выражать тангенс через уже известные синус и косинус.
Котангенс угла — отношение косинуса угла к его синусу: ctg α = cos α / sin α. Он определён только при sin α ≠ 0. Это отношение удобно, когда известны косинус и синус или требуется преобразовать выражение с котангенсом.
Следствия основного тождества — формулы 1 + tg² α = 1 / cos² α и 1 + ctg² α = 1 / sin² α. Первую получают при cos α ≠ 0, вторую — при sin α ≠ 0. Они связывают тангенс и котангенс с квадратами синуса и косинуса и помогают заменять одни тригонометрические выражения другими.
Угол α задаёт точку на единичной окружности — окружности радиуса 1 с центром в начале координат. Её координаты равны (cos α, sin α): косинус показывает абсциссу точки, а синус — её ординату. Любая точка этой окружности удовлетворяет уравнению x² + y² = 1. Подставив координаты, получаем sin² α + cos² α = 1, и поскольку точка существует при любом повороте, равенство верно для любого α.
Тангенс и котангенс выражаются через синус и косинус по своим определениям: tg α = sin α / cos α, ctg α = cos α / sin α. Причина ограничений видна прямо из дробей: делить на ноль нельзя. Косинус равен нулю при α = π/2 + πk, а синус — при α = πk, где k ∈ Z; поэтому в этих случаях соответственно не существует тангенс или котангенс. Перед вычислением полезно проверить, не попал ли угол в такой набор.
Чтобы получить тождество для тангенса, разделим sin² α + cos² α = 1 на cos² α. При cos α ≠ 0 каждое слагаемое можно разделить: sin² α / cos² α + 1 = 1 / cos² α. По определению tg α = sin α / cos α, значит, отношение квадратов равно tg² α, и получается 1 + tg² α = 1 / cos² α. Условие cos α ≠ 0 обязательно не только для тангенса, но и для самого деления.
Для формулы котангенса разделяем основное тождество на sin² α, причём заранее предполагаем sin α ≠ 0. Тогда sin² α / sin² α + cos² α / sin² α = 1 / sin² α. Первое слагаемое равно 1, а второе — ctg² α по определению котангенса. Так получаем 1 + ctg² α = 1 / sin² α.
Тождества позволяют восстановить неизвестные значения и менять вид выражений, но преобразование должно сохранять допустимость деления. Например, если известно sin α, то основное тождество даёт cos² α = 1 − sin² α, после чего нужно извлечь квадратный корень и выбрать знак по условию. Если в выражении есть 1 − cos² α, его можно заменить на sin² α. При работе с дробями отдельно проверяйте, что сокращаемый множитель не равен нулю.
| Название или вид связи | Формула | Ограничение |
|---|---|---|
| Основное тождество | sin² α + cos² α = 1 | Ограничений нет |
| Тангенс через синус и косинус | tg α = sin α / cos α | cos α ≠ 0 |
| Котангенс через косинус и синус | ctg α = cos α / sin α | sin α ≠ 0 |
| Тождество для тангенса | 1 + tg² α = 1 / cos² α | cos α ≠ 0 |
| Тождество для котангенса | 1 + ctg² α = 1 / sin² α | sin α ≠ 0 |
Выбирайте формулу по тем функциям, которые уже есть в задаче: для синуса и косинуса подходит основное тождество, для тангенса или котангенса — соответствующая формула из таблицы. Ограничение в последнем столбце нужно проверить до деления. Так вы не получите выражение, не имеющее смысла при данном угле.
Задача 1. Найти cos α, если sin α = 3/5 и угол α острый. Известный синус подставим в основное тождество, чтобы найти квадрат косинуса. Но равенство для квадрата само по себе не определяет знак косинуса, поэтому понадобится условие об остром угле.
Ответ: cos α = 4/5. Выбор знака здесь сделан не по самому уравнению с квадратом, а по условию задачи.
Задача 2. Найти tg α, если sin α = 5/13 и cos α = 12/13. Тангенс — это отношение синуса к косинусу, значит, достаточно подставить оба известных значения. Перед вычислением проверим, что знаменатель не равен нулю: 12/13 ≠ 0.
Ответ: tg α = 5/12. Значение определено, так как косинус угла отличен от нуля.
Задача 3. Упростить выражение (1 − cos² α) / sin α при sin α ≠ 0. В числителе находится часть основного тождества: 1 − cos² α равно sin² α. После такой замены дробь можно сократить, а заданное условие как раз гарантирует ненулевой знаменатель.
Ответ: sin α. Условие задачи важно: без него сокращение могло бы оказаться делением на ноль.
Иногда записывают sin α + cos α = 1 вместо sin² α + cos² α = 1. Так происходит, когда забывают, что тождество связывает именно квадраты функций. Проверка проста: подставьте, например, α = 0 — левая часть ошибочной записи равна 1, но для других углов равенство не сохранится. Следите за показателем степени у каждой функции.
Деление основного тождества на cos² α или sin² α без проверки знаменателя может привести к недопустимому преобразованию. Ученик часто замечает знакомую формулу и автоматически делит, не учитывая, что косинус или синус могут быть нулём. Перед таким шагом укажите условие cos α ≠ 0 или sin α ≠ 0. Если условие не выполняется, соответствующая формула для тангенса или котангенса неприменима.
В определениях тангенса и котангенса иногда меняют местами синус и косинус. Это происходит из-за сходства названий, хотя отношения обратны: tg α = sin α / cos α, а ctg α = cos α / sin α. Чтобы проверить себя, запишите дроби рядом и сопоставьте их с определениями. Убедитесь также, что знаменатель соответствует ограничению для нужной функции.
Из cos² α = a² нельзя без дополнительных сведений заключить, что cos α = a. При извлечении корня возможны два значения: cos α = a и cos α = −a, если a положительно. Ошибку допускают, забывая, что возведение в квадрат устраняет знак. Проверьте четверть угла или прочитайте условие: именно они определяют знак синуса и косинуса.
Для работы с основными тригонометрическими формулами нужно знать, что означают синус, косинус, тангенс и котангенс, а также как угол задаёт точку на единичной окружности. Координаты этой точки помогают понять, откуда берётся основное тождество. Знание четвертей окружности позволяет определить знак синуса и косинуса.
Тождества применяют при упрощении тригонометрических выражений, решении уравнений и нахождении значений функций. Они помогают заменять синус и косинус, а также работать с тангенсом и котангенсом. В каждой задаче нужно проверять условия определения функций и допустимость преобразований.
Почему основное тождество верно для любого угла?
Точке на единичной окружности, соответствующей углу α, принадлежат координаты (cos α, sin α). По уравнению этой окружности x² + y² = 1, поэтому cos² α + sin² α = 1 для любого угла.
Когда нельзя вычислить тангенс или котангенс?
Тангенс не определён, когда cos α = 0, потому что в формуле tg α = sin α / cos α получается деление на ноль. Котангенс не определён при sin α = 0 по той же причине.
Как из основного тождества получить формулы для тангенса и котангенса?
Чтобы получить формулу для тангенса, разделите sin² α + cos² α = 1 на cos² α; это допустимо при cos α ≠ 0. Для формулы котангенса разделите обе части на sin² α, предварительно проверив, что sin α ≠ 0.
Как определить знак синуса или косинуса после возведения в квадрат?
Возведение в квадрат теряет информацию о знаке: из cos² α = 9/25 следует cos α = 3/5 или cos α = −3/5. Выберите значение по четверти, в которой находится угол, или по дополнительному условию задачи.
Какое тождество выбрать для упрощения выражения?
Посмотрите, какие функции уже есть в выражении и что требуется получить. Для замены 1 − cos² α используйте sin² α, а для выражений с tg α или ctg α — соответствующую формулу 1 + tg² α = 1 / cos² α или 1 + ctg² α = 1 / sin² α.
§ 4. Основные тригонометрические формулы
