"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия (базовый и углублённый уровни)", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Числовой аргумент x задаёт поворот на единичной окружности, а координаты получившейся точки определяют значения синуса и косинуса. Тангенс и котангенс выражаются через их отношение. Такой способ связывает углы с числами, помогает находить значения функций, определять их знаки и свойства. Главное — не путать координаты точки, учитывать ограничения на деление и помнить, в какой четверти находится точка.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Синус числового аргумента sin x — ордината точки единичной окружности, полученной поворотом на угол x. Ордината — это вторая координата точки, то есть её положение по вертикали. Определение позволяет находить синус не только для острых углов, но и для любого действительного аргумента.
Косинус числового аргумента cos x — абсцисса точки единичной окружности, полученной поворотом на угол x. Абсцисса — первая координата, задающая положение по горизонтали. Вместе с синусом она полностью описывает положение точки и помогает определять знак значения по четверти.
Тангенс числового аргумента tg x — отношение синуса к косинусу: tg x = sin x / cos x при cos x ≠ 0. Он показывает, во сколько раз ордината точки отличается от её абсциссы с учётом знаков. Условие cos x ≠ 0 необходимо, потому что деление на ноль не определено.
Котангенс числового аргумента ctg x — отношение косинуса к синусу: ctg x = cos x / sin x при sin x ≠ 0. Это отношение удобно находить, когда известны обе координаты точки или их значения. Ограничение sin x ≠ 0 указывает, что знаменатель не должен обращаться в ноль.
Чтобы сопоставить числу x точку окружности, берут единичный радиус и поворачивают его на угол x. Угол измеряют в радианах: положительное значение задаёт поворот против часовой стрелки, отрицательное — по часовой. Конец радиуса и есть нужная точка, а единичная окружность нужна потому, что длина радиуса фиксирована и координаты можно напрямую связать с тригонометрическими функциями.
Координаты точки записывают как (cos x, sin x), потому что косинус определён как горизонтальная координата, а синус — как вертикальная. На единичной окружности для любой точки выполняется уравнение a² + b² = 1, где a и b — её координаты. Подставляя a = cos x и b = sin x, получаем основное тождество sin² x + cos² x = 1; оно позволяет находить одну из функций, если известна другая, но знак нужно определить отдельно.
Тангенс и котангенс — отношения координат, поскольку деление сравнивает их величины. Для тангенса делят ординату на абсциссу, а для котангенса — абсциссу на ординату. Поэтому tg x не существует при cos x = 0, то есть при x = π/2 + πk, а ctg x не существует при sin x = 0, то есть при x = πk; k — любое целое число.
Если к аргументу прибавить 2π, радиус совершит полный дополнительный оборот и придёт в ту же точку. Координаты не изменятся, поэтому значения синуса и косинуса повторятся. Поворот на π приводит к противоположной точке окружности: обе координаты меняют знак, откуда sin(x + π) = −sin x и cos(x + π) = −cos x.
Симметрия окружности относительно горизонтальной оси сохраняет абсциссу и меняет знак ординаты. Поэтому cos(−x) = cos x, а sin(−x) = −sin x: косинус чётный, синус нечётный. При прибавлении π знаки синуса и косинуса меняются одновременно, так что их отношение остаётся прежним; этим объясняется период π у тангенса и котангенса. Синусу и косинусу для повторения той же точки нужен полный оборот 2π.
| Свойство | y = sin x | y = cos x | y = tg x | y = ctg x |
|---|---|---|---|---|
| Область определения | Все x ∈ R | Все x ∈ R | x ≠ π/2 + πk, k ∈ Z | x ≠ πk, k ∈ Z |
| Множество значений | [−1; 1] | [−1; 1] | Все действительные числа | Все действительные числа |
| Наименьший положительный период | 2π | 2π | π | π |
| Чётность | Нечётная | Чётная | Нечётная | Нечётная |
| Нули | x = πk, k ∈ Z | x = π/2 + πk, k ∈ Z | x = πk, k ∈ Z | x = π/2 + πk, k ∈ Z |
| Точки, в которых функция не определена | Нет | Нет | x = π/2 + πk, k ∈ Z | x = πk, k ∈ Z |
В таблице k обозначает любое целое число, а R — множество действительных чисел. Сначала проверяйте область определения, затем выбирайте нужное свойство: например, период помогает упростить аргумент, а четверть — определить знак. Значения на границах четвертей особенно легко проверить по координатам единичной окружности.
Задача 1. Найдите sin x и cos x, если точка единичной окружности, соответствующая аргументу x, имеет координаты (−3/5; 4/5). Нужно проверить, что заданная точка действительно лежит на единичной окружности, и сопоставить координаты с функциями. Затем определение сразу даст оба значения.
Ответ: sin x = 4/5, cos x = −3/5. Знаки согласуются со второй четвертью: абсцисса отрицательна, ордината положительна.
Задача 2. Найдите tg x и ctg x, если sin x = 3/5, а cos x = −4/5. По определениям тангенс — это синус, делённый на косинус, а котангенс — косинус, делённый на синус. Оба знаменателя здесь отличны от нуля, значит, вычисления допустимы.
Ответ: tg x = −3/4, ctg x = −4/3. Отрицательные знаки ожидаемы: синус и косинус имеют разные знаки, значит, их отношения отрицательны.
Задача 3. Для x = 7π/6 найдите sin x, cos x, tg x и ctg x. Сначала определим положение точки: 7π/6 = π + π/6, поэтому аргумент лежит в третьей четверти, а опорный угол равен π/6. В этой четверти синус и косинус отрицательны, а их отношения положительны.
Ответ: sin x = −1/2, cos x = −√3/2, tg x = √3/3, ctg x = √3. Проверка знаков по третьей четверти подтверждает результат.
Иногда координаты точки записывают как (sin x, cos x), меняя порядок функций. Так путают синус с абсциссой, а косинус с ординатой, потому что привычно сначала перечислять синус. Проверяйте запись по определениям: первая координата — cos x, вторая — sin x, а для x = 0 точка (1; 0) подтверждает cos 0 = 1 и sin 0 = 0.
Тангенс или котангенс могут вычислять, не проверив знаменатель. Ошибка возникает, когда формулу применяют механически и забывают, что делить на ноль нельзя. Перед подстановкой убедитесь, что cos x ≠ 0 для tg x и sin x ≠ 0 для ctg x; подходящие значения аргумента можно сверить с областью определения.
Период синуса и косинуса иногда принимают равным π, а тангенса и котангенса — 2π. Путаница появляется потому, что все четыре функции связаны с одной окружностью, но для отношений достаточно поменять знаки обеих координат одновременно. Проверка простая: sin(x + π) = −sin x, зато tg(x + π) = tg x; значит, периоды различны.
Знак функции определяют только по величине опорного угла, не учитывая четверть. Сам опорный угол задаёт модуль значения, но не его знак, поэтому такой способ приводит к ошибке. Сначала установите четверть и знаки координат точки, затем применяйте правило для синуса, косинуса или их отношений.
Для работы с числовым аргументом нужны понятия единичной окружности, радианной меры угла и координат точки. Знание знаков координат в четвертях помогает выбирать знаки тригонометрических значений. Эти функции затем используются при изучении тригонометрических тождеств и уравнений: определения и периоды позволяют преобразовывать выражения и находить решения.
Значения синуса и косинуса применяют в геометрии, в частности при решении задач о треугольниках. Связь функций с координатами помогает понимать, откуда берутся их свойства, а не только запоминать формулы. Позже это пригодится при исследовании графиков и других свойств тригонометрических функций.
Почему синус числового аргумента связан с ординатой точки окружности?
После поворота радиуса на угол x его конец оказывается на единичной окружности. Ордината этой точки по определению равна sin x, а абсцисса — cos x. Такое соответствие позволяет задавать значения функций для любого действительного числа.
Чем числовой аргумент отличается от угла, заданного в градусах?
Числовой аргумент — это число, которое трактуют как величину поворота, обычно выраженную в радианах. Например, π радиан соответствует 180°, а 2π — полному обороту. Поэтому аргументом может быть любое действительное число, в том числе отрицательное.
Почему тангенс не существует при некоторых значениях аргумента?
Тангенс определён как отношение sin x к cos x. Делить на ноль нельзя, а cos x равен нулю при x = π/2 + πk, где k — целое число. В этих точках тангенс не определён.
Почему период тангенса равен π, а не 2π?
При прибавлении π синус и косинус одновременно меняют знак. Их отношение sin x / cos x при этом не меняется, поэтому tg(x + π) = tg x. Меньшего положительного периода у тангенса нет.
Как определить знак синуса, косинуса, тангенса или котангенса по четверти?
Сначала определите четверть точки на единичной окружности. Синус имеет знак ординаты, а косинус — знак абсциссы; тангенс и котангенс положительны, когда синус и косинус одного знака. В I четверти все четыре функции положительны, во II отрицательны тангенс и котангенс, в III — синус и косинус, в IV — синус, тангенс и котангенс.
§ 3. Синус, косинус, тангенс и котангенс числового аргумента
