§ 2. Показательные и логарифмические неравенства

Определения и обозначения

Показательное неравенство — неравенство, в котором неизвестное входит в показатель степени, например 2ˣ > 8. Его общий вид может включать выражения вроде aᶠ⁽ˣ⁾ и aᵍ⁽ˣ⁾, где a — положительное число, не равное 1. При решении важно помнить, как основание влияет на изменение степени. Это позволяет заменить сравнение степеней сравнением показателей.

Логарифмическое неравенство — неравенство с логарифмом, в аргументе или основании которого есть неизвестное. Например, log₂(x − 1) > 0 содержит неизвестное в аргументе. Логарифм существует только при положительном аргументе и положительном основании, отличном от 1. Поэтому такие условия нужно учитывать ещё до преобразований.

Равносильные неравенства — неравенства, имеющие одно и то же множество решений. Например, переход от x + 2 > 5 к x > 3 равносилен: оба неравенства выполняются при одних и тех же x. Если преобразование меняет множество решений, его нельзя считать равносильным без дополнительных проверок. Сохранение равносильности помогает получить именно ответ исходной задачи.

Область допустимых значений (ОДЗ) — множество значений неизвестного, при которых все выражения исходного неравенства имеют смысл. Для каждого логарифма требуется, чтобы его аргумент был больше нуля, а основание — больше нуля и не равнялось 1. Если основание зависит от неизвестного, эти условия превращаются в дополнительные ограничения. ОДЗ отсекает значения, которые нельзя подставлять в исходное выражение.

Как это устроено

Степени с одинаковым основанием сравнивают через показатели, потому что значение aˣ зависит от x монотонно. Если a > 1, функция возрастает: при увеличении показателя увеличивается и значение степени, поэтому знак сохраняется. Если 0 < a < 1, функция убывает: большему показателю соответствует меньшая степень, и знак сравнения меняется. Перед сравнением нужно убедиться, что основания действительно одинаковы и допустимы.

Когда основания не совпадают, полезно поискать способ привести степени к общей основе. Например, 8 и 2 можно выразить через основание 2, поскольку 8 = 2³. Если так сделать нельзя или выражения устроены сложнее, иногда вводят замену t = aˣ. При положительном основании степень всегда положительна, следовательно, нужно добавить условие t > 0. После решения относительно t найденные значения переводят обратно к x.

В логарифмическом неравенстве сначала записывают ОДЗ, потому что логарифм определён не для любых чисел. Каждый аргумент должен быть положительным, а каждое основание — положительным и не равным единице. Эти ограничения сохраняются и после применения свойств логарифмов. Если их потерять, преобразованное неравенство может оказаться определённым там, где исходное выражение не существует.

Логарифмы с одинаковым основанием сравнивают благодаря монотонности функции logₐ x. При a > 1 она возрастает, поэтому большему аргументу соответствует больший логарифм и знак сохраняется. При 0 < a < 1 функция убывает, поэтому знак при сравнении аргументов меняется на противоположный. Сравнивать аргументы можно только при условии, что они положительны.

Решение неравенства после преобразований обязательно сопоставляют с исходными ограничениями. Сначала получают множество значений, удовлетворяющих упрощённому неравенству, а затем оставляют из него только значения ОДЗ. Такой отбор нужен, потому что некоторые преобразования упрощают запись, но не отменяют условий существования исходных логарифмов. Полезно проверить выбранные значения подстановкой в исходное выражение.

Основные способы решения показательных и логарифмических неравенств

В таблице собраны правила для сравнения степеней и логарифмов с одинаковым основанием. Сначала проверьте основание и применимость правила, а для логарифмов — также положительность обоих аргументов. Если основание находится между 0 и 1, знак при сравнении меняется.

Разбор задач

Задача 1. Решить неравенство 2^(x − 1) > 2³.

Обе части уже записаны как степени с основанием 2, которое больше единицы. Значит, функция 2ˣ возрастает и переход к сравнению показателей не меняет знак. После этого остаётся решить линейное неравенство и проверить полученный промежуток.

1. Сравниваем показатели: x − 1 > 3.
2. Прибавляем 1 к обеим частям: x > 4.

Ответ: x > 4. При любом таком значении показатель слева больше 3, поэтому и степень с основанием 2 больше 2³.

Задача 2. Решить неравенство (1/3)^(2x − 1) ≤ (1/3)^(x + 2).

Основания степеней одинаковы, но 1/3 находится между нулём и единицей. Поэтому соответствующая показательная функция убывает, и при переходе к показателям знак нужно перевернуть. Затем решаем линейное неравенство, сохраняя полученное направление знака.

1. Меняем знак и сравниваем показатели: 2x − 1 ≥ x + 2.
2. Вычитаем x и прибавляем 1: x ≥ 3.

Ответ: x ≥ 3. При таких x показатель слева не меньше показателя справа, а убывание функции даёт обратное сравнение значений степеней.

Задача 3. Решить неравенство log₂(x − 1) + log₂(x + 1) > 3.

Перед объединением логарифмов находим ОДЗ: оба аргумента должны быть положительными. Затем используем свойство суммы логарифмов с одним основанием и сравниваем аргумент с числом 2³. Полученное квадратное неравенство решаем с учётом ОДЗ, а в конце оставляем только допустимые значения.

1. ОДЗ: x − 1 > 0 и x + 1 > 0, откуда x > 1.
2. Объединяем логарифмы: log₂((x − 1)(x + 1)) > 3.
3. Так как 2 > 1, сравниваем аргументы: (x − 1)(x + 1) > 8, то есть x² − 1 > 8.
4. Решаем: x² > 9, значит x < −3 или x > 3. Пересекаем с ОДЗ x > 1 и получаем x > 3.

Ответ: x > 3. Ветка x < −3 не подходит из-за ОДЗ, даже несмотря на то, что удовлетворяет полученному квадратному неравенству.

Типичные ошибки

При основании степени между 0 и 1 иногда сравнивают показатели, не меняя знак. Так происходит, если забыть, что функция убывает. Проверьте себя: возьмите простые показатели, например 1 и 2, и сравните значения степеней; у большего показателя степень окажется меньше.

При сравнении логарифмов с основанием между 0 и 1 можно ошибочно сохранить знак между аргументами. Причина та же: логарифмическая функция убывает, а не возрастает. Чтобы проверить ход решения, подставьте два положительных аргумента, например 1 и 2, и сравните их логарифмы при выбранном основании.

Преобразовывать логарифмы до записи ОДЗ опасно: так легко не заметить, что один из аргументов может быть нулевым или отрицательным. В результате в решении появляются значения, при которых исходное выражение не определено. Начинайте с ограничений для каждого логарифма, а затем используйте его свойства.

Ещё одна ошибка — не пересечь найденный ответ с ОДЗ после решения. Её допускают, когда считают преобразованное неравенство полностью заменившим исходное. Проверьте каждый участок ответа по всем условиям ОДЗ и вычеркните недопустимые значения.

Связь с другими темами

Для решения этих неравенств нужны свойства степеней и логарифмов, а также умение решать линейные и квадратные неравенства. Монотонность функции объясняет, почему при сравнении степеней или логарифмов сохраняют либо меняют знак. Позже эти приёмы пригодятся при изучении показательной и логарифмической функций, а также систем уравнений и неравенств с такими выражениями. Если после преобразований возникают произведения или дроби, удобно использовать метод интервалов.

Что запомнить

• При основании больше 1 показательная функция возрастает.
• При основании от 0 до 1 показательная функция убывает.
• При основании больше 1 логарифмическая функция возрастает.
• При основании от 0 до 1 логарифмическая функция убывает.
• В логарифмическом неравенстве аргументы должны быть положительными.
• Основание логарифма должно быть положительным и не равняться 1.
• Ответ проверяют с учётом ОДЗ исходного неравенства.