"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия (базовый и углублённый уровни)", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Показательные и логарифмические уравнения помогают находить неизвестное, когда оно стоит в показателе степени или связано с логарифмом. Их решают, используя свойства степеней и логарифмов, а иногда — замену переменной или графики. Главная привычка при работе с такими уравнениями — сначала проверять допустимость выражений, затем выполнять равносильные преобразования и в конце сверять найденные корни с исходным условием.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Показательное уравнение — это уравнение, в котором неизвестное содержится в показателе степени; например, a^{f(x)} = b. Основание a должно быть положительным и не равняться единице: при таких условиях степень определена для любого действительного показателя и зависит от него однозначно. Это определение помогает узнать уравнения, которые удобно решать с помощью свойств степеней.
Логарифмическое уравнение — уравнение, в котором неизвестное входит в аргумент или основание логарифма, например log_a f(x) = b. Для логарифма основание должно быть положительным и отличным от единицы, а аргумент — положительным. Эти требования позволяют заранее определить, при каких x уравнение вообще имеет смысл.
ОДЗ уравнения — множество допустимых значений неизвестного, при которых определены все выражения в уравнении. Например, если в записи есть log₂(x − 3), то необходимо x − 3 > 0, то есть x > 3. ОДЗ нужно находить до преобразований: она защищает от использования недопустимых значений.
Равносильные преобразования — такие преобразования уравнения, которые не меняют множество его решений при соблюдении необходимых условий. Например, к обеим частям можно прибавить одно и то же число, а равные степени с допустимым одинаковым основанием можно заменить равенством показателей. Если же преобразование неравносильно, после него требуется проверка корней в исходном уравнении.
Основание показательной функции f(x) = a^x должно быть положительным, потому что при отрицательном основании степень с произвольным действительным показателем не всегда имеет действительное значение. Основание 1 тоже не подходит: функция 1^x постоянно равна 1 и не различает значения x. При a > 0 значение a^x всегда положительно, поэтому показательная функция не принимает ни ноль, ни отрицательные числа. Это свойство сразу позволяет отбрасывать уравнения вида a^{f(x)} = b при b ≤ 0.
Если в обеих частях стоят степени с одним основанием, то равенство степеней сводится к равенству показателей: a^{f(x)} = a^{g(x)} даёт f(x) = g(x). Причина в том, что при a > 0 и a ≠ 1 функция a^x строго возрастает или строго убывает, но не принимает одно значение дважды. Например, 2^{x−1} = 2³ означает, что x − 1 = 3. Если основания разные, приравнивать показатели напрямую нельзя: сначала нужно привести степени к общему основанию или выбрать другой способ.
Логарифм можно заменить степенной записью по определению: log_a u = b равносильно a^b = u при a > 0, a ≠ 1 и u > 0. Поэтому уравнение с одним логарифмом иногда сразу превращается в показательную запись. Но сперва записывают ОДЗ: преобразование с логарифмом допустимо только тогда, когда его аргумент положителен. Это также помогает не принять за ответ число, при котором исходное выражение не определено.
Свойства логарифмов позволяют превратить сумму логарифмов с одинаковым основанием в логарифм произведения, а разность — в логарифм частного: log_a u + log_a v = log_a(uv), log_a u − log_a v = log_a(u/v). Такие формулы работают, когда u и v положительны: тогда исходные логарифмы определены. У логарифма суммы такого правила нет: log_a(u + v) нельзя заменить на log_a u + log_a v. Поэтому перед объединением логарифмов проверяют положительность каждого исходного аргумента.
Если в уравнении повторяется выражение a^x, его можно обозначить новой переменной t. Например, a^{2x} = (a^x)², поэтому уравнение становится квадратным относительно t = a^x. После решения квадратного уравнения учитывают, что t > 0, так как степень положительного основания положительна. Затем из допустимых значений t находят x и проверяют полученные корни в исходном уравнении.
| Вид уравнения | Условия и ОДЗ | Основной приём | Что проверить в конце |
|---|---|---|---|
| a^{f(x)} = a^{g(x)} | a > 0, a ≠ 1 | Приравнять показатели | Корни исходного уравнения |
| a^{f(x)} = b | a > 0, a ≠ 1; b > 0 | Представить b как степень a или перейти к log_a b | Положительность правой части и найденные корни |
| log_a f(x) = log_a g(x) | a > 0, a ≠ 1; f(x) > 0, g(x) > 0 | Приравнять аргументы | Принадлежность корней ОДЗ |
| log_a f(x) = b | a > 0, a ≠ 1; f(x) > 0 | Перейти к равенству f(x) = a^b | Положительность аргумента |
| Уравнение, сводимое заменой t = a^x к квадратному | a > 0, a ≠ 1; t > 0 | Решить квадратное уравнение относительно t | Отбросить t ≤ 0 и выполнить обратную замену |
| Уравнение с суммой или разностью логарифмов | Основания допустимы; каждый аргумент положителен | Объединить логарифмы в произведение или частное | ОДЗ исходных логарифмов |
Сначала выбери строку, которая соответствует виду уравнения, и выпиши указанные условия. Затем выполни основной приём и отдельно проверь все найденные значения в исходной записи. Если подходят несколько строк, можно попробовать каждый способ и выбрать наиболее короткий.
Правая часть не записана как степень двойки, поэтому сначала приведём обе части к одному основанию. Число 8 равно 2³, а основание 2 положительно и не равно единице. Теперь равенство степеней можно заменить равенством показателей и решить простое линейное уравнение.
Ответ: x = 4. Проверка совпала с правой частью, поэтому найденное значение является корнем исходного уравнения.
Сначала проверим, при каких x оба логарифма определены. Затем объединим их в логарифм произведения, приравняем аргумент и правую часть переведём в степень с основанием 3. Квадратное уравнение даст несколько кандидатов, поэтому каждый нужно сопоставить с ОДЗ.
Ответ: x = 2. Корень −2 появился при решении преобразованного уравнения, но не входит в ОДЗ и не подходит исходному уравнению.
В уравнении встречаются 2^x и его квадрат: 2^{2x} = (2^x)². Поэтому введём t = 2^x и получим квадратное уравнение. При этом t не может быть отрицательным, так как любая степень двойки положительна; после решения вернёмся к x.
Ответ: x = 0; x = 2. Оба значения удовлетворяют исходному уравнению, а недопустимых значений t среди найденных нет.
Игнорирование ОДЗ в логарифмическом уравнении приводит к включению значений, при которых аргумент равен нулю или отрицателен. Такое случается, когда ученик сразу объединяет логарифмы или решает полученное уравнение. Выписывай условие положительности каждого аргумента до преобразований, а в конце сравнивай с ним все кандидаты.
При возведении в степень или умножении на выражение с неизвестным преобразование может оказаться неравносильным и добавить либо потерять корни. Обычно ошибку допускают, забывая, что обратное действие не всегда восстанавливает исходное равенство. Отмечай шаги, которые требуют проверки, и подставляй все кандидаты в исходное уравнение.
Правило log_a(u + v) = log_a u + log_a v неверно: логарифм суммы не раскладывается на сумму логарифмов. Его путают с верным свойством логарифма произведения. Проверяй формулу по определению логарифма; объединять можно сумму логарифмов в логарифм произведения, но не наоборот для суммы внутри аргумента.
После замены t = a^x нельзя оставлять отрицательное значение t: при a > 0 выражение a^x всегда положительно. Также нельзя закончить решение на корнях квадратного уравнения, не вернувшись к x. Проверь условие t > 0, выполни обратную замену и подставь найденные x в исходное уравнение.
Для решения нужны свойства степеней, определение логарифма, его основные свойства и навыки решения квадратных уравнений. Графики показательной функции y = 2ˣ и логарифмической функции y = log₂x взаимно обратны и симметричны относительно прямой y = x; графический подход помогает оценить число и расположение корней. Позже эти способы пригодятся при решении показательных и логарифмических неравенств, систем и прикладных задач.
Почему основание логарифма не может быть равно единице?
При основании 1 значение 1ⁿ равно 1 при любом показателе, поэтому обратная функция для степени не определяется однозначно. Значит, логарифм с таким основанием не задаёт число для каждого положительного аргумента.
Зачем выписывать ОДЗ, если в конце можно проверить ответ?
ОДЗ помогает не выполнять преобразования с выражениями, которые не определены, и сразу отсекает невозможные значения. Проверка в конце полезна, но она не всегда показывает, на каком шаге появились посторонние корни.
Когда в показательном уравнении можно просто приравнять показатели?
Это можно делать, когда обе части являются степенями одного и того же основания a, где a > 0 и a ≠ 1. Показательная функция с таким основанием принимает каждое значение только один раз, поэтому равные степени имеют равные показатели.
Почему при замене t = a^x нельзя брать отрицательный корень квадратного уравнения?
При a > 0 степень a^x положительна при любом действительном x. Поэтому отрицательное значение t не может соответствовать ни одному x и должно быть отброшено.
Можно ли всегда решить показательное или логарифмическое уравнение точно?
Нет. Некоторые уравнения сводятся к знакомым алгебраическим уравнениям, а для других точное решение может быть невозможно выразить простыми формулами. Тогда используют графический или численный метод и указывают приближённые корни.
§ 1. Показательные и логарифмические уравнения
