"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия (базовый и углублённый уровни)", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Ортогональная проекция показывает, какую фигуру образуют основания перпендикуляров, опущенных с исходной фигуры на плоскость. Она помогает находить площади фигур, изображённых на другой плоскости, и сравнивать их с исходными. Главный результат темы — площадь проекции равна исходной площади, умноженной на косинус острого угла между плоскостями. Чем сильнее фигура наклонена к плоскости проекции, тем меньше её проекция.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Ортогональная проекция фигуры на плоскость — фигура, полученная проецированием каждой точки исходной фигуры на плоскость по перпендикуляру к ней. Иначе говоря, из каждой точки проводят перпендикуляр и отмечают место его пересечения с плоскостью. Это определение позволяет понять, какие точки и отрезки образуют полученную фигуру.
Угол между плоскостями — острый угол между перпендикулярами к этим плоскостям. Для плоскости фигуры и плоскости проекции он показывает, насколько наклонена одна плоскость относительно другой. Этот угол нужен, чтобы определить, насколько уменьшится площадь при проектировании.
Площадь ортогональной проекции — площадь фигуры, полученной ортогональным проектированием исходной фигуры на плоскость. Её обозначают Sпр, а площадь исходной фигуры — S. Эти обозначения помогают не перепутать искомую площадь с площадью самой фигуры.
Теорема о площади ортогональной проекции утверждает: площадь проекции плоской фигуры равна произведению её площади на косинус угла между плоскостями. Формула имеет вид Sпр = S cos α. Она связывает площадь исходной фигуры с её проекцией и позволяет находить одну по другой.
При ортогональном проектировании точка переходит в основание перпендикуляра, опущенного из неё на плоскость проекции. Поэтому концы отрезка переходят в проекции его концов, а сами точки отрезка задают проекцию всего отрезка. Так же получают проекцию многоугольника: проецируют его вершины, после чего соединяют их в том же порядке. Такой способ сохраняет связь между исходной фигурой и полученной на плоскости.
Если плоскость фигуры параллельна плоскости проекции, соответствующие направления не наклонены друг к другу. Перпендикуляры, которыми выполняют проектирование, переносят точки на одинаковое расстояние, поэтому форма и размеры фигуры не меняются. Угол между плоскостями в этом случае равен 0°, а cos 0° = 1. Следовательно, площадь проекции совпадает с исходной площадью.
Когда плоскость фигуры наклонена, её точки смещаются к плоскости проекции в разных направлениях. При этом размер вдоль линии пересечения плоскостей не сокращается, потому что это направление лежит в обеих плоскостях. Размер поперёк этой линии уменьшается: его проекция составляет cos α от исходного размера. Поскольку площадь зависит от обоих размеров, такое сокращение отражается и на площади.
Коэффициент изменения площади определяется углом наклона: Sпр = S cos α. При малом α косинус близок к единице, поэтому площади мало отличаются; при увеличении угла косинус уменьшается, и проекция становится меньше. Например, при α = 60° cos α = ½, значит, проекция имеет половину исходной площади. Для любого допустимого угла cos α не превосходит единицы, поэтому проекция не может быть больше фигуры.
В формуле нужен именно угол между плоскостью фигуры и плоскостью проекции. Его можно определить по перпендикулярам к плоскостям или по их следам — линиям пересечения плоскостей с одной и той же вспомогательной плоскостью, перпендикулярной линии пересечения. Угол между самой фигурой и её проекцией может относиться лишь к отдельному отрезку и не описывать наклон всей плоскости. Поэтому сначала устанавливают угол между плоскостями и лишь затем подставляют его косинус.
| Положение плоскости фигуры относительно плоскости проекции | Угол α | Площадь проекции |
|---|---|---|
| Плоскости параллельны | 0° | Sпр = S |
| Плоскости наклонены | 0° < α < 90° | Sпр = S cos α |
| Плоскости перпендикулярны | 90° | Sпр = 0 |
Найдите в таблице положение плоскостей, соответствующее условию задачи, и определите угол α. Затем подставьте его в формулу площади проекции или используйте указанное частное значение. Для поиска исходной площади преобразуйте формулу: при cos α ≠ 0 разделите площадь проекции на cos α.
Площадь квадрата равна 36 см². Найдите площадь его ортогональной проекции на параллельную плоскость. Параллельность означает, что плоскость квадрата и плоскость проекции имеют одинаковое направление. Значит, угол между ними равен нулю.
Проверка согласуется с геометрическим смыслом: при параллельных плоскостях площадь не сокращается. Ответ: 36 см².
Площадь треугольника равна 20 см², а угол между его плоскостью и плоскостью проекции — 60°. Нужно найти площадь проекции. Здесь дан как раз угол между плоскостями, поэтому формулу можно применять непосредственно. Косинус 60° равен ½.
Площадь уменьшилась вдвое, что соответствует косинусу угла 60°. Полученное число меньше 20 см², как и должно быть при наклонённых плоскостях. Ответ: 10 см².
Площадь ортогональной проекции параллелограмма равна 15 см², угол между его плоскостью и плоскостью проекции — 60°. Требуется найти площадь исходного параллелограмма. В отличие от предыдущей задачи, здесь известна площадь проекции, поэтому неизвестную исходную площадь нужно выразить из теоремы. Поскольку cos 60° = ½, исходная площадь должна быть вдвое больше проекции.
Проверим результат: половина от 30 см² равна 15 см², то есть заданной площади проекции. Деление вместо умножения необходимо, потому что проекция меньше исходной фигуры. Ответ: 30 см².
Первая ошибка — подставить угол между фигурой и отдельным отрезком вместо угла между плоскостями. Её допускают, потому что в задаче могут быть указаны разные углы, связанные с фигурой. Проверьте, определён ли α через обе плоскости; при сомнении найдите угол между их перпендикулярами или следами.
Вторая ошибка — использовать синус вместо косинуса. Синус может появиться при вычислении вспомогательной длины, но теорема о площади проекции использует cos α. Чтобы проверить выбор, рассмотрите α = 0°: площадь должна остаться прежней, а sin 0° = 0 не даёт такого результата.
Третья ошибка — получить площадь проекции больше исходной. Она возникает из-за неверно выбранного угла или арифметической ошибки. Так как 0 ≤ cos α ≤ 1, из формулы Sпр = S cos α следует Sпр ≤ S; проверьте это неравенство после вычислений.
Четвёртая ошибка — при поиске исходной площади умножить площадь проекции на cos α. Часто это происходит, когда формулу не преобразуют, а запоминают только её вид. Из равенства Sпр = S cos α следует S = Sпр / cos α; подставьте найденную площадь обратно и убедитесь, что получается заданная проекция.
Для изучения темы нужны понятия перпендикулярности прямой и плоскости, угла между плоскостями и площади плоских фигур. Перпендикулярность задаёт способ построения проекции, а угол между плоскостями определяет коэффициент изменения площади. Знание формул площадей позволяет применять теорему к треугольникам, параллелограммам и другим фигурам.
Результат используют при вычислении площадей сечений и проекций пространственных фигур, а также в задачах на угол между плоскостями. Он помогает перейти от площади фигуры в её собственной плоскости к площади изображения на другой плоскости. Поэтому при решении пространственных задач важно различать саму фигуру и её ортогональную проекцию.
Что называется ортогональной проекцией фигуры на плоскость?
Это фигура, полученная, если каждую точку исходной фигуры спроецировать на заданную плоскость по перпендикуляру. Проекция каждой точки — основание такого перпендикуляра.
Какой угол нужно подставлять в формулу площади проекции?
Нужно подставлять острый угол между плоскостью исходной фигуры и плоскостью проекции. Это не обязательно угол между отдельными отрезками фигуры и её проекции.
Почему площадь проекции равна произведению исходной площади на косинус угла?
При наклоне плоскости размеры проекции вдоль линии пересечения плоскостей сохраняются, а в направлении наклона сокращаются в cos α раз. Поэтому во столько же раз меняется и площадь.
Может ли площадь проекции быть больше площади исходной фигуры?
Нет: для угла между плоскостями cos α не больше 1. Значит, произведение исходной площади на cos α не превосходит исходную площадь.
Как найти исходную площадь, если известны площадь проекции и угол между плоскостями?
Из формулы Sпр = S cos α выразите исходную площадь: S = Sпр / cos α. Делить можно, если cos α ≠ 0.
§ 5. Площадь ортогональной проекции
