§ 4. Трёхгранные углы

Определения и обозначения

Трёхгранный угол — фигура, образованная тремя лучами с общей вершиной, не лежащими в одной плоскости. В отличие от обычного угла, она показывает, как лучи расположены в пространстве. Это определение помогает не спутать трёхгранный угол с плоской фигурой.

Ребро трёхгранного угла — каждый из трёх лучей, выходящих из его вершины. Рёбра можно обозначать буквами, например OA, OB и OC, если O — вершина. Они задают направления, по которым образуются грани.

Грань трёхгранного угла — плоский угол, образованный двумя соседними рёбрами. Например, рёбра OA и OB образуют грань AOB. Это понятие нужно, чтобы рассматривать части пространственной фигуры, лежащие в отдельных плоскостях.

Плоский угол трёхгранного угла — угол каждой грани, заданный двумя соответствующими рёбрами. У грани AOB плоским углом будет ∠AOB. Он измеряется в градусах и не совпадает с двугранным углом между гранями.

Как это устроено

Пусть из вершины O выходят три луча OA, OB и OC, не лежащие в одной плоскости. Любые два из этих лучей задают плоскость и образуют в ней угол, поэтому возникают грани AOB, BOC и COA. Все три луча вместе не могут оказаться в одной плоскости — именно это отделяет пространственный трёхгранный угол от плоской конфигурации.

Каждой паре рёбер соответствует ровно одна грань: для трёх рёбер есть пары OA–OB, OB–OC и OC–OA. Грань определяется не всей областью пространства между лучами, а плоским углом в плоскости, которую они задают. Поэтому каждой грани соответствует свой плоский угол с вершиной O, а всего таких углов три.

Двугранный угол образуется двумя плоскостями граней, имеющими общее ребро. Например, грани AOB и BOC соприкасаются по ребру OB, а угол между их плоскостями — двугранный. Чтобы представить его величину, можно мысленно пересечь эти плоскости плоскостью, перпендикулярной ребру OB: угол между линиями пересечения и будет линейным углом двугранного.

Каждый плоский угол меньше суммы двух остальных. Например, если провести через рёбра плоскости, перпендикулярные одному из них, образуется треугольник, стороны которого связаны с углами при вершине; к ним применимо неравенство треугольника. Оно говорит, что длина любой стороны меньше суммы двух других, и в этой конструкции приводит к соответствующему неравенству для плоских углов. Поэтому равенство одного угла сумме двух других невозможно.

Сумма трёх плоских углов меньше 360°, потому что грани расположены в разных плоскостях и не могут полностью развернуться в плоскость вокруг вершины. Это можно увидеть при сечении маленькой сферой с центром в O: три грани пересекут сферу по дугам, а плоские углы будут измерять соответствующие дуги. Их сумма образует периметр сферического треугольника, который меньше полного оборота, то есть 360°. Тот же смысл наглядно передаёт развёртка трёх граней: вокруг вершины остаётся незаполненный промежуток.

Элементы и основные свойства трёхгранного угла

Пользуйся таблицей как проверочным списком: сначала назови вершину и три выходящих из неё ребра, затем составь пары рёбер и укажи грани. После этого отдельно перечисли плоские углы и двугранные углы, не смешивая их. Для проверки числовых данных используй оба ограничения для плоских углов.

Разбор задач

Задача 1. Назвать элементы по обозначениям

Дан трёхгранный угол с вершиной O и рёбрами OA, OB, OC. Нужно назвать его грани, плоские углы и двугранные углы. Сначала сгруппируем рёбра попарно, потому что каждая пара задаёт одну грань. Затем для каждой пары укажем угол и отметим общие рёбра соседних граней.

1. Общая точка трёх рёбер — O, значит, это вершина.
2. Рёбра — лучи OA, OB и OC.
3. Пары OA и OB, OB и OC, OC и OA задают грани AOB, BOC и COA.
4. Плоские углы этих граней — ∠AOB, ∠BOC и ∠COA. Двугранные углы образованы парами граней AOB и BOC, BOC и COA, COA и AOB.

Ответ: вершина O; рёбра OA, OB, OC; грани AOB, BOC, COA; плоские углы ∠AOB, ∠BOC, ∠COA; двугранные углы между указанными парами граней. Названия двугранных углов можно дополнить названием общего ребра каждой пары: соответственно OB, OC и OA.

Задача 2. Проверить углы 40°, 70° и 120°

Нужно выяснить, могут ли эти три числа быть плоскими углами одного трёхгранного угла. Недостаточно просто сложить их: требуется проверить, что каждый угол меньше суммы двух остальных. Проверка показывает, возможно ли вообще такое сочетание плоских углов.

1. Для угла 40°: 40° < 70° + 120° = 190°.
2. Для угла 70°: 70° < 40° + 120° = 160°.
3. Для угла 120°: 120° < 40° + 70° = 110° — неверно.

Нарушено обязательное неравенство для угла 120°, поэтому такая тройка невозможна. Её сумма равна 230° и меньше 360°, но одного этого условия недостаточно. Ответ: нет, эти числа не могут быть плоскими углами одного трёхгранного угла.

Задача 3. Найти двугранный угол правильного трёхгранного угла

Все плоские углы равны 60°. Обозначим двугранный угол между двумя гранями через δ. Для вычисления можно рассечь трёхгранный угол сферой с центром в вершине: на сфере получаем треугольник, стороны которого равны плоским углам, а углы соответствуют двугранным. Применим сферический закон косинусов к треугольнику со сторонами 60°, 60°, 60°.

1. Закон косинусов для стороны 60°: cos 60° = cos 60° · cos 60° + sin 60° · sin 60° · cos δ.
2. Подставим значения: 1/2 = 1/4 + 3/4 · cos δ.
3. Отсюда 1/4 = 3/4 · cos δ, поэтому cos δ = 1/3.
4. Значит, δ = arccos(1/3) ≈ 70,5°.

Ответ: двугранный угол между любыми двумя гранями приблизительно равен 70,5°. Он не равен 60°: 60° здесь — величина плоских углов, а не углов между плоскостями граней.

Типичные ошибки

• Считать гранью весь участок пространства между рёбрами. Так думают, потому что в пространстве фигура окружает объёмную область. Но грань трёхгранного угла — плоский угол в конкретной плоскости; проверь себя: можешь ли ты назвать два ребра, которые его образуют?
• Путать плоский и двугранный углы. Оба связаны с гранями, поэтому их легко смешать. Плоский угол лежит внутри одной грани, а двугранный относится к паре граней; при решении задачи укажи, измеряешь ли ты угол между лучами или между плоскостями.
• Считать, что сумма плоских углов равна 360°. Это свойство углов вокруг точки в одной плоскости, тогда как грани трёхгранного угла расположены в разных плоскостях. Проверь себя по развёртке или сферическому сечению: сумма должна быть меньше 360°.
• Проверять только сумму и забывать о неравенствах. Сумма меньше 360° ещё не гарантирует, что углы подходят. Для каждого угла отдельно сравни его с суммой двух остальных; если хотя бы одно условие нарушено, трёхгранный угол невозможен.

Связь с другими темами

Для изучения темы нужны представления о плоских углах и двугранных углах, а также неравенство треугольника: оно помогает обосновать ограничения на величины углов. Полезно уметь представлять сечение пространственной фигуры плоскостью или сферой. Дальше свойства трёхгранных углов пригодятся при изучении многогранников, в частности правильных многогранников, и при исследовании взаимного расположения прямых и плоскостей.

Что запомнить

• Трёхгранный угол имеет одну вершину, три ребра и три грани.
• Каждая грань является плоским углом.
• Между каждой парой граней образуется двугранный угол.
• Каждый плоский угол трёхгранного угла меньше суммы двух остальных.
• Сумма трёх плоских углов меньше 360°.
• Плоские углы характеризуют грани, а двугранные — взаимное положение граней.