"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия (базовый и углублённый уровни)", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Тригонометрические уравнения, сводящиеся к простейшим, решают не напрямую, а с помощью знакомых преобразований. Общий множитель позволяет разложить уравнение на несколько случаев, а повторяющиеся sin x или cos x — заменить одной переменной. Затем каждое полученное уравнение решают по известным формулам и возвращаются к x. Главное — учесть допустимые значения новой переменной, не потерять корни при делении и записать все решения с учётом периодичности.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Простейшее тригонометрическое уравнение — уравнение вида sin x = a, cos x = a, tg x = a или ctg x = a. Его корни находят по значению a и записывают с учётом периода соответствующей функции. Например, при sin x = ½ получаются две серии решений: x = π/6 + 2πk и x = 5π/6 + 2πk, где k ∈ Z. Такие уравнения служат конечной целью преобразований более сложных выражений.
Уравнение, сводящееся к простейшему, — уравнение, которое преобразованиями или заменой переменной можно привести к одному или нескольким простейшим уравнениям. Например, разложение на множители может разделить задачу на несколько случаев. Это определение помогает распознать, что сложная запись не обязательно требует нового способа решения. Нужно найти подход, который приведёт к уже знакомым формулам.
Замена переменной — введение новой переменной вместо повторяющегося тригонометрического выражения. Например, при повторении sin x можно положить t = sin x и решить уравнение сначала относительно t. Затем нужно вернуться к исходной переменной и решить sin x = t для каждого допустимого значения t. Без этого шага решение остаётся ответом о новой переменной, а не о x.
Посторонний корень — значение, полученное при преобразованиях, которое не удовлетворяет исходному уравнению. Он может появиться, если преобразование неравносильно исходному или если не учтены ограничения на переменную. Поэтому найденные значения проверяют в первоначальной записи. Проверка особенно нужна после замены, возведения в степень или деления на выражение с переменной.
Сначала найди повторяющиеся части уравнения и общий множитель. Если одно и то же выражение встречается несколько раз, его можно выделить или заменить новой переменной. Затем выбери преобразование, после которого останется простейшее уравнение либо алгебраическое уравнение. В конце реши все полученные случаи и проверь корни в исходной записи, потому что не каждое преобразование автоматически сохраняет их множество.
Разложение на множители удобно, когда всё уравнение можно представить как произведение выражений, равное нулю. Произведение обращается в ноль, если нулём становится хотя бы один из его множителей. Поэтому каждый множитель по очереди приравнивают к нулю и решают отдельное уравнение. Такой переход сохраняет все возможные случаи, а итоговый ответ объединяет решения каждого из них.
Если повторяется sin x или cos x, замена t = sin x или t = cos x превращает тригонометрическую запись в алгебраическую. Например, выражения sin²x и sin x становятся t² и t, так что можно применить правила решения квадратного уравнения. Но синус и косинус принимают значения только на отрезке [−1; 1]. Поэтому после решения уравнения для t нужно отбросить корни вне этого отрезка, а для оставшихся решить уравнение относительно x.
Тождество sin²x + cos²x = 1 позволяет заменить квадрат одной функции выражением через другую. Благодаря этому уравнение, в котором есть квадраты синуса и косинуса, можно переписать через одну функцию и упростить. Аналогично действуют при других тождественных преобразованиях: цель — получить знакомое простейшее уравнение. При упрощении следи, чтобы сокращение или деление не удалило возможные решения.
Преобразование обеих частей допустимо, если оно сохраняет множество решений. Деление на выражение с переменной требует осторожности: если это выражение равно нулю, делить на него нельзя, и соответствующий случай нужно проверить отдельно. Например, перед делением на cos x реши исходное уравнение при cos x = 0. После этого можно рассматривать оставшийся случай, где cos x ≠ 0, и делить без потери корней.
Пользуйся таблицей как ориентиром: сначала распознай признак в уравнении, затем выбери соответствующий приём. После преобразования реши указанное уравнение и отдельно проверь ограничения или исключённые случаи. Если получилось несколько случаев, объедини все найденные решения.
| Признак в уравнении | Основной приём | Что решить после преобразования | Что проверить |
|---|---|---|---|
| Есть общий множитель или произведение выражений | Разложить на множители и приравнять каждый множитель к нулю | Полученные простейшие уравнения | Объединить решения всех случаев |
| Повторяется sin x или cos x | Ввести замену t = sin x или t = cos x | Алгебраическое уравнение относительно t | Учесть −1 ≤ t ≤ 1 и вернуться к x |
| В уравнении есть sin²x и cos²x | Использовать sin²x + cos²x = 1 и выразить всё через одну функцию | Простейшее уравнение после упрощения | Не потерять корни при делении или сокращении |
| Уравнение содержит sin x и cos x в первой степени | Преобразовать выражения или разделить на cos x с отдельным разбором cos x = 0 | Уравнение с tg x либо отдельные случаи | Проверить исключённый случай и допустимость деления |
В первых двух задачах видно, как простейшее уравнение получается после обычного преобразования или разложения на множители. В третьей повторяющаяся функция становится новой переменной, и тригонометрическая задача временно превращается в алгебраическую. Во всех случаях после решения нужно записать полные серии корней. Переменная k в формулах принимает любые целые значения.
Ответ: x = π/6 + 2πk или x = 5π/6 + 2πk, k ∈ Z.
Ответ: x = πk или x = π/2 + 2πk, k ∈ Z.
Ответ: x = ±π/3 + 2πk или x = π + 2πk, k ∈ Z.
Записывают только один корень простейшего уравнения и забывают о периодичности функции. Это происходит, если воспринимать угол как единственное решение, хотя одинаковое значение синуса или косинуса повторяется через период. Проверь ответ, добавив к каждому основному углу все необходимые слагаемые с k ∈ Z. Для синуса и косинуса период равен 2π, для тангенса и котангенса — π.
При замене t = sin x или t = cos x иногда принимают любой корень алгебраического уравнения. Но новая переменная всё равно является значением синуса или косинуса и потому лежит между −1 и 1. Отбрось решения t < −1 или t > 1 до того, как будешь искать x. Самопроверка проста: спроси, может ли такое число быть значением выбранной функции.
Деление на sin x или cos x без отдельного разбора может удалить корни, при которых делитель равен нулю. Ошибку допускают, потому что деление кажется обычным упрощением, но оно допустимо только при ненулевом делителе. До деления подставь условие sin x = 0 или cos x = 0 в исходное уравнение и проверь, есть ли решения. Затем решай оставшийся случай, явно указав, что делитель не равен нулю.
После решения уравнения относительно новой переменной можно забыть вернуться к исходной или проверить ответ только в преобразованной записи. Тогда в ответе остаётся значение t вместо x либо сохраняется посторонний корень. Для каждого допустимого t реши исходное простейшее уравнение и подставь полученные значения в начальное уравнение. Только после этой проверки записывай итоговый ответ.
Для решения нужны значения и периодичность синуса, косинуса, тангенса и котангенса, а также формулы простейших тригонометрических уравнений. Эти знания позволяют перейти от полученной записи функции к полному набору углов. При замене переменной понадобятся разложение многочленов на множители и решение квадратных уравнений. Тождество sin²x + cos²x = 1 помогает преобразовывать уравнения, где присутствуют обе функции.
Освоенные приёмы пригодятся и в более сложных тригонометрических уравнениях: там также ищут повторяющиеся выражения, выбирают замену и проверяют допустимость преобразований. Умение аккуратно работать с периодами понадобится при решении тригонометрических неравенств. В них, кроме формул, важно будет учитывать промежутки, на которых функция принимает нужные значения.
Как понять, какую замену выбрать в тригонометрическом уравнении?
Посмотри, какая тригонометрическая функция повторяется и в каких степенях она стоит. Если уравнение состоит из выражений с sin x или cos x, например sin²x и sin x, удобно обозначить повторяющуюся функцию через t. Если можно применить тождество sin²x + cos²x = 1, вырази всё уравнение через одну функцию.
Почему при замене t = sin x нужно учитывать условие −1 ≤ t ≤ 1?
Синус любого угла принимает значения только от −1 до 1. Поэтому корень алгебраического уравнения для t за пределами этого отрезка не может быть равен sin x ни при каком x. Такой корень отбрасывают до возвращения к исходной переменной.
Как не потерять корни при делении уравнения на sin x или cos x?
До деления отдельно рассмотри случай, когда делитель равен нулю: sin x = 0 или cos x = 0. Реши этот случай в исходном уравнении, а затем дели на выражение, которое уже не равно нулю. Так ни одно возможное решение не останется за рамками преобразования.
Почему после разложения на множители нужно решать каждое уравнение отдельно?
Произведение равно нулю, если хотя бы один его множитель равен нулю. Поэтому нулю приравнивают каждый множитель и решают получившиеся уравнения отдельно. Ответом будет объединение решений всех случаев.
Как записать все корни простейшего тригонометрического уравнения?
Используй формулу корней для конкретной функции и включи целое число k, которое учитывает периодичность. Например, sin x = ½ имеет решения x = π/6 + 2πk или x = 5π/6 + 2πk, k ∈ Z. Для тангенса и котангенса период равен π, а для синуса и косинуса — 2π.
§ 3. Тригонометрические уравнения, сводящиеся к простейшим
