§ 2. Корни простейших тригонометрических уравнений

Определения и обозначения

Простейшее тригонометрическое уравнение — это уравнение вида sin x = a, cos x = a, tg x = a или ctg x = a. Здесь a — заданное число, а x — неизвестный угол, который нужно найти. Такие уравнения называют простейшими, потому что тригонометрическая функция в них уже отделена от остальных действий. Их формулы помогают решать более сложные уравнения, которые можно свести к одному из этих видов.

Арксинус числа a — это угол из отрезка [−π/2; π/2], синус которого равен a. Его обозначают arcsin a, и он определён только при |a| ≤ 1. У этого ограничения простая причина: синус не принимает значений меньше −1 или больше 1. Арксинус нужен, чтобы обозначить один выбранный угол, от которого затем строят все решения уравнения.

Арккосинус числа a — угол из отрезка [0; π], косинус которого равен a. Его обозначают arccos a; он существует при |a| ≤ 1, поскольку косинус также не выходит за пределы отрезка [−1; 1]. Выбор промежутка позволяет каждому допустимому числу a поставить в соответствие один определённый угол. Этот угол служит отправной точкой при записи всех корней cos x = a.

Арктангенс числа a — угол из интервала (−π/2; π/2), тангенс которого равен a. Обозначение — arctg a, и оно имеет смысл при любом действительном a, так как тангенс может принимать любые действительные значения. Арктангенс задаёт один основной угол для уравнения tg x = a. Остальные решения получают, учитывая период тангенса.

Арккотангенс числа a — угол из интервала (0; π), котангенс которого равен a. Обозначают его arcctg a; такое соглашение выбирает один угол для каждого действительного a. Как и арктангенс, арккотангенс нужен для записи исходного угла, а периодичность котангенса позволяет получить из него остальные корни.

Как это устроено

Перед решением sin x = a или cos x = a проверяют условие |a| ≤ 1. На единичной окружности синус угла — это вертикальная координата точки, а косинус — горизонтальная. Координаты точки окружности не могут быть больше 1 или меньше −1. Поэтому, если число a лежит вне этого диапазона, подходящей точки и решений уравнения нет.

Для уравнения sin x = a основной угол задаёт arcsin a. Но синус одинаков в точках окружности, расположенных симметрично относительно вертикальной оси: поэтому одного основного угла недостаточно, обычно появляются два семейства корней. Формула x = (−1)ⁿ arcsin a + πn, где n ∈ ℤ, объединяет оба семейства. При чётных и нечётных n получаются разные варианты, а изменение n охватывает повторения функции с периодом 2π.

Для cos x = a основное значение угла — arccos a. Косинус не меняется при замене x на −x, поскольку является чётной функцией; поэтому к основному углу добавляют оба знака. Затем учитывают, что косинус повторяет значения через 2π. Получается x = ± arccos a + 2πn, где n ∈ ℤ. Знак ± означает, что нужно взять оба варианта: и плюс, и минус.

В уравнении tg x = a ограничение на число a не требуется: тангенс принимает любые действительные значения. После выбора основного угла arctg a учитывают период тангенса, равный π. Именно поэтому все решения записываются как x = arctg a + πn, где n ∈ ℤ, а не с добавлением 2πn. Прибавление π не меняет значение тангенса, так как и числитель, и знаменатель в его отношении меняют знак.

Котангенс тоже принимает любые действительные значения и повторяется через π. Основной угол обозначают arcctg a, выбирая его из интервала (0; π), а все корни записывают так: x = arcctg a + πn, где n ∈ ℤ. Период объясняется тем, что значения котангенса в точках, отстоящих на π, совпадают. Учитывая это, получают полный набор решений, а не только один угол.

Формулы решений простейших тригонометрических уравнений

Сначала найдите нужную строку по виду функции и проверьте условие на a. Затем подставьте число вместо a и выпишите все значения, задаваемые формулой. Если нужен ответ на промежутке, оставьте из общего решения только корни, которые в него попадают.

Разбор задач

Задача 1. Решить уравнение sin x = 1/2. Значение 1/2 допустимо для синуса, поэтому уравнение имеет корни. Сначала находим основной угол, а затем используем формулу, которая учитывает симметрию синуса и его период.

1. Определяем основной угол: arcsin(1/2) = π/6, так как sin(π/6) = 1/2.
2. Подставляем его в общую формулу: x = (−1)ⁿπ/6 + πn, n ∈ ℤ.
3. Чтобы увидеть два семейства, разделяем чётные и нечётные n. Получаем x = π/6 + 2πk или x = 5π/6 + 2πk, где k ∈ ℤ.

Обе серии необходимы: углы π/6 и 5π/6 имеют один и тот же синус. Добавление 2πk учитывает все полные обороты, после которых значение функции повторяется. Ответ: x = π/6 + 2πk или x = 5π/6 + 2πk, k ∈ ℤ.

Задача 2. Решить cos x = −√2/2 на промежутке [0; 2π). Сначала используем формулу общего решения, затем проверяем, какие её значения попадают в заданные границы. Поскольку промежуток содержит один полный оборот без конечной точки 2π, достаточно найти корни в нём.

1. Находим основной угол: arccos(−√2/2) = 3π/4, так как этот угол лежит в [0; π] и его косинус равен −√2/2.
2. Записываем общее решение: x = ±3π/4 + 2πn, n ∈ ℤ.
3. При n = 0 получаем 3π/4 и −3π/4. Второе значение лежит вне промежутка, но при n = 1 оно даёт 5π/4. Другие целые n выводят значения за границы [0; 2π).

Проверяем: оба найденных угла принадлежат промежутку, и косинус каждого равен −√2/2. Конец 2π не включён, но он и не является корнем данного уравнения. Ответ: x = 3π/4; 5π/4.

Задача 3. Решить уравнение 2tg(3x − π/4) − 1 = 0. Здесь аргумент тангенса — выражение 3x − π/4, поэтому сначала удобно обозначить его одной буквой. После этого уравнение станет простейшим, а в конце останется выразить x.

1. Переносим и делим: 2tg(3x − π/4) = 1, значит tg(3x − π/4) = 1/2.
2. Пусть t = 3x − π/4. Тогда t = arctg(1/2) + πn, n ∈ ℤ, поскольку период тангенса равен π.
3. Возвращаемся к x: 3x − π/4 = arctg(1/2) + πn. Прибавляем π/4 и делим на 3.

Получаем x = π/12 + (1/3)arctg(1/2) + πn/3, где n ∈ ℤ. Проверка обратной подстановкой приводит к tg(3x − π/4) = 1/2, поэтому исходное равенство выполняется. Ответ: x = π/12 + (1/3)arctg(1/2) + πn/3, n ∈ ℤ.

Типичные ошибки

Ошибка: решать sin x = a или cos x = a при |a| > 1, не проверив допустимость числа. Её допускают, когда сразу применяют формулу и не вспоминают диапазон значений функции. Проверка проста: если a не принадлежит [−1; 1], решений нет, и арксинус или арккосинус для такого числа не определён.

Ошибка: записать для уравнения с синусом только одну серию корней. Так происходит, если считать, что найденный через arcsin угол — единственный угол с нужным синусом. Проверьте ответ по окружности или используйте формулу x = (−1)ⁿ arcsin a + πn: она содержит оба семейства решений.

Ошибка: прибавлять к решениям уравнения с тангенсом или котангенсом 2πn вместо πn. Это обычно связано с переносом периода синуса и косинуса на все тригонометрические функции. При проверке сравните формулу с периодом: сдвиг на π сохраняет тангенс и котангенс, поэтому шаг 2π пропускает часть корней.

Ошибка: считать n только положительным или оставить корни за пределами заданного промежутка. В общей формуле n — любое целое число, включая ноль и отрицательные значения. Для самопроверки подставьте несколько таких n, а если задан промежуток — отдельно проверьте, что каждый оставленный корень ему принадлежит.

Связь с другими темами

Для решения простейших уравнений нужно знать значения тригонометрических функций, их периоды, области определения и значения. Единичная окружность помогает увидеть, почему одному значению функции могут соответствовать разные углы. Симметрия синуса, косинуса, тангенса и котангенса объясняет устройство формул и помогает не терять корни. Эти формулы становятся инструментом при решении более сложных тригонометрических уравнений, неравенств и систем: там сначала преобразуют выражение, чтобы свести его к простейшему виду.

Что запомнить

• У sin x = a и cos x = a решения существуют только при |a| ≤ 1.
• У tg x = a и ctg x = a решение существует при любом действительном a.
• Период синуса и косинуса равен 2π.
• Период тангенса и котангенса равен π.
• В общем решении n принимает все целые значения.
• Для решений на промежутке сначала находят общее решение, затем отбирают подходящие корни.