§ 1. Простейшие тригонометрические уравнения

Определения и обозначения

Простейшее тригонометрическое уравнение — это уравнение вида sin x = a, cos x = a, tg x = a или ctg x = a. Здесь a — заданное число, а x — неизвестный угол, который требуется найти. Такие уравнения называют простейшими, потому что тригонометрическая функция в них зависит непосредственно от x. Их общие формулы помогают решать уравнения, где вместо x стоит более сложное выражение.

Арксинус числа a, или arcsin a, — это угол из отрезка [−π/2; π/2], синус которого равен a. Он определён только при |a| ≤ 1, поскольку синус не принимает значений за пределами отрезка [−1; 1]. Выбор именно этого промежутка задаёт одно определённое значение арксинуса, хотя исходное уравнение синуса обычно имеет бесконечно много корней. Поэтому arcsin a служит отправной точкой для записи всех решений.

Арккосинус числа a, или arccos a, — это угол из отрезка [0; π], косинус которого равен a. Он существует при |a| ≤ 1, так как косинус, как и синус, не может быть больше 1 или меньше −1. Ограничение угла отрезком [0; π] позволяет однозначно выбрать значение arccos a. Затем симметрия косинуса помогает получить вторую серию корней уравнения.

Арктангенс числа a, или arctg a, — это угол из интервала (−π/2; π/2), тангенс которого равен a; такой угол можно найти для любого действительного a. Для котангенса используют арккотангенс arcctg a — угол из (0; π), котангенс которого равен a. Эти обратные функции дают начальное решение, а периодичность тангенса и котангенса позволяет получить остальные. Их период равен π, поэтому к начальному углу добавляют целые кратные π.

Как это устроено

Сначала проверяют, может ли заданное число быть значением функции. Синус и косинус на единичной окружности соответствуют координатам точки, а каждая координата лежит между −1 и 1. Поэтому уравнения sin x = a и cos x = a имеют решения только при |a| ≤ 1; если условие нарушено, искать углы бессмысленно. Тангенс и котангенс при допустимых значениях аргумента могут принимать любое действительное значение, так что для них такого ограничения на a нет.

В уравнении sin x = a сначала берут один выбранный угол arcsin a. Но синус одинаков у углов, симметричных относительно вертикальной оси единичной окружности, поэтому одного такого угла недостаточно для описания всех решений. Учёт этой симметрии вместе с периодом синуса 2π приводит к формуле x = (−1)ⁿ arcsin a + πn, n ∈ ℤ. При чётных n она даёт одну серию углов, при нечётных — другую, а перебор всех целых n повторяет обе серии через периоды.

Для косинуса начальный угол выбирают как arccos a из [0; π]. Косинус симметричен относительно оси, проходящей через начало координат и точку (1; 0), поэтому углы arccos a и −arccos a имеют одинаковый косинус. Повторение через полный оборот 2π даёт обе серии в одной записи: x = ± arccos a + 2πn, n ∈ ℤ. Если оставить лишь один знак, углы из второй симметричной серии не попадут в ответ.

Тангенс и котангенс повторяют значения при прибавлении π: tg(x + π) = tg x и ctg(x + π) = ctg x. Поэтому после выбора угла arctg a или arcctg a к нему прибавляют πn, а не 2πn. Получаются решения tg x = a: x = arctg a + πn и ctg x = a: x = arcctg a + πn, где n ∈ ℤ. Хотя у функций есть точки, в которых они не определены, записанные решения для конечного a в эти точки не попадают.

Общее решение должно охватывать все углы, удовлетворяющие уравнению, а не только один или несколько найденных примеров. Целое n меняется без ограничений, и поэтому формула сразу описывает бесконечное число корней. Если дан промежуток, из общего решения выбирают лишь значения внутри него, проверяя границы включительно или исключительно согласно записи промежутка. Если аргумент функции имеет вид, например, 3x − π/4, сначала находят все значения этого аргумента, а затем решают уравнение относительно x.

Решения простейших тригонометрических уравнений

Сначала найдите строку с нужной функцией и проверьте условие существования корней. Затем подставьте заданное число вместо a и не забудьте указать n ∈ ℤ. Если в условии дан промежуток, отберите из общего решения только значения, которые ему принадлежат.

Разбор задач

Задача 1. Решить уравнение sin x = 1/2. Правая часть удовлетворяет условию |a| ≤ 1, поэтому решения существуют. Для выбора начального угла используем значение arcsin(1/2) = π/6, а затем запишем обе серии корней общей формулой синуса.

1. Подставим a = 1/2 в формулу x = (−1)ⁿ arcsin a + πn, n ∈ ℤ.
2. Получим x = (−1)ⁿπ/6 + πn, n ∈ ℤ. При чётных n это углы π/6 + 2πk, а при нечётных — 5π/6 + 2πk, где k ∈ ℤ.
3. Обе серии нужны: они соответствуют двум углам за полный оборот, у которых синус равен 1/2.

Ответ: x = π/6 + 2πk или x = 5π/6 + 2πk, k ∈ ℤ. Проверка на единичной окружности показывает, что в каждом обороте получаются два угла с положительной ординатой 1/2. Прибавление 2πk повторяет их для всех оборотов.

Задача 2. Решить уравнение cos x = −√2/2 на промежутке [0; 2π). Сначала найдём общее решение, потому что оно описывает все возможные корни, а уже после ограничим их заданным промежутком. Значение −√2/2 соответствует углу arccos(−√2/2) = 3π/4. Знак ± и период 2π учитывают симметричные углы и повторение косинуса.

1. По формуле для косинуса запишем x = ±3π/4 + 2πn, n ∈ ℤ.
2. При n = 0 получаем 3π/4 и −3π/4. Второе значение меньше нуля, поэтому оно не входит в [0; 2π).
3. При n = 1 из отрицательной серии получаем −3π/4 + 2π = 5π/4. Другие значения n дают числа вне заданного промежутка.

Ответ: x = 3π/4; 5π/4. Оба угла лежат внутри промежутка, а на концах 0 и 2π косинус равен 1, поэтому дополнительные корни на границе не появляются. Здесь правый конец не включён, но это не влияет на ответ.

Задача 3. Решить уравнение 2tg(3x − π/4) = 2. Неизвестное входит в аргумент тангенса, поэтому сначала упростим уравнение и найдём значения всего аргумента. Период тангенса равен π, и это определит шаг между решениями. В конце отдельно выразим x, разделив на коэффициент при нём.

1. Делим обе части на 2: tg(3x − π/4) = 1.
2. Так как arctg 1 = π/4, общее решение для аргумента имеет вид 3x − π/4 = π/4 + πn, n ∈ ℤ.
3. Прибавим π/4 к обеим частям: 3x = π/2 + πn. Разделим всё равенство на 3, включая слагаемое с n.

Ответ: x = π/6 + πn/3, n ∈ ℤ. Подстановка найденного x даёт аргумент π/4 + πn, тангенс которого равен 1. Значения при разных n не пропадают, потому что мы использовали период π и сохранили целый параметр.

Типичные ошибки

Ошибка: записать для tg x = a период 2π вместо π. Её допускают, перенося на тангенс период синуса и косинуса, хотя тангенс уже повторяется через половину полного оборота. Если оставить только 2πn, часть корней потеряется; проверить запись можно равенством tg(x + π) = tg x.

Ошибка: решать sin x = a или cos x = a, не проверив |a| ≤ 1. Так можно получить формулу с арксинусом или арккосинусом числа, для которого эта функция не определена. Перед вычислениями сравните a с границами отрезка [−1; 1]; если число за его пределами, действительных решений нет.

Ошибка: в решении cos x = a оставить только +arccos a. Часто ученик использует лишь выбранное значение обратной функции и забывает, что косинус имеет одинаковые значения у симметричных углов. Проверьте ответ по единичной окружности или по знаку ± в общей формуле: обе серии должны быть учтены.

Ошибка: при аргументе 3x − π/4 забыть разделить на 3 либо разделить не все слагаемые. Это происходит, когда преобразование выполняют в уме и теряют часть периодического выражения. Решайте линейное уравнение отдельными строками: перенесите свободный член, затем разделите каждую часть равенства на коэффициент при x и проверьте подстановкой.

Связь с другими темами

Для решения уравнений нужно знать значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса на основных углах, а также периоды этих функций. Обратные тригонометрические функции дают начальный угол для общей формулы. Когда аргумент содержит выражение с x, пригодится умение решать линейные уравнения и выполнять равносильные преобразования. Общие решения простейших уравнений становятся основой для более сложных тригонометрических уравнений и неравенств, а ограничение промежутком учит отбирать из них нужные корни.

Что запомнить

• Уравнения sin x = a и cos x = a имеют решения только при |a| ≤ 1.
• Для sin x = a: x = (−1)ⁿ arcsin a + πn, n ∈ ℤ.
• Для cos x = a: x = ± arccos a + 2πn, n ∈ ℤ.
• Для tg x = a: x = arctg a + πn, n ∈ ℤ.
• Для ctg x = a период решений равен π.
• В общем решении n принимает все целые значения.