§ 3. Закон сложения вероятностей

Определения и обозначения

Сумма событий A и B — событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий A или B; оно обозначается A ∪ B. Значит, подходят исходы, где произошло только A, только B или оба события. Это обозначение нужно, чтобы кратко описывать объединение нескольких условий.

Несовместные события — события, которые не могут наступить одновременно: A ∩ B = ∅. Например, при одном броске кубика события «выпало 2» и «выпало 5» несовместны. Для них не бывает общих исходов, поэтому вероятность суммы находится особенно просто.

Закон сложения вероятностей — правило P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). Оно учитывает не только вероятность каждого события, но и вероятность их одновременного наступления. Закон нужен, чтобы правильно считать исходы, которые относятся сразу к двум событиям.

Противоположное событие событию A обозначается Ā и наступает тогда и только тогда, когда A не наступает. Например, противоположно событию «выпало чётное число» событие «выпало нечётное число». Такая запись позволяет заменить прямой подсчёт вероятности подсчётом всех остальных исходов.

Как это устроено

Сумма событий объединяет исходы, при которых происходит A, B или оба события. Поэтому A ∪ B не означает, что должно произойти только одно из них: одновременное наступление тоже подходит. Это важно при задачах со словами «хотя бы одно», «A или B», «один из признаков».

Если сложить P(A) и P(B), исходы пересечения A ∩ B попадут в результат дважды. Сначала они учитываются как часть события A, а затем ещё раз как часть события B. Вычитание P(A ∩ B) оставляет каждый общий исход ровно один раз и приводит к формуле P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).

Для несовместных событий пересечение пусто, потому что одновременный исход отсутствует. Вероятность невозможного события равна нулю, значит, P(A ∩ B) = 0. После подстановки в общий закон получается упрощение: P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

Несколько событий образуют полную группу, если они несовместны попарно и вместе охватывают все возможные исходы испытания. Одно из событий такой группы обязательно произойдёт, поэтому их сумма является достоверным событием. Следовательно, сумма вероятностей событий полной группы равна 1, что позволяет находить неизвестную вероятность вычитанием из единицы.

Событие A и противоположное ему событие Ā несовместны: один исход не может одновременно означать наступление A и его ненаступление. Вместе они охватывают все исходы, поэтому образуют достоверное событие. По закону сложения P(A ∪ Ā) = P(A) + P(Ā) = 1, откуда P(Ā) = 1 − P(A).

Сложение вероятностей событий

Сначала определите, могут ли события произойти одновременно, и найдите их пересечение. Затем выберите строку таблицы: для любых событий используйте общую формулу, а для несовместных — сокращённую. Если одно событие противоположно другому, удобнее сразу применить равенство вероятностей с единицей.

Разбор задач

Задача 1. При броске игрального кубика событие A — выпало чётное число, событие B — выпала единица. Найдём вероятность наступления A или B. Эти события несовместны, поскольку один результат броска не может быть одновременно чётным числом и единицей.

1. Чётные результаты — 2, 4 и 6, поэтому P(A) = 3/6 = 1/2.
2. Единица — один из шести равновероятных исходов, значит, P(B) = 1/6.
3. Так как A ∩ B = ∅, применяем сокращённый закон: P(A ∪ B) = 1/2 + 1/6 = 2/3.

Ответ: вероятность равна 2/3.

Задача 2. В группе 30 учеников 12 изучают французский язык, 10 — немецкий, а 4 изучают оба языка. Требуется найти вероятность того, что выбранный ученик изучает хотя бы один язык. Пересечение уже дано: это 4 ученика, изучающие оба языка.

1. Обозначим события A и B: ученик изучает французский и немецкий языки соответственно. Тогда P(A) = 12/30, P(B) = 10/30, P(A ∩ B) = 4/30.
2. Используем общий закон, потому что события пересекаются: P(A ∪ B) = 12/30 + 10/30 − 4/30.
3. Получаем 18/30 = 3/5. Вычитание четырёх учеников убирает двойной подсчёт тех, кто изучает оба языка.

Ответ: вероятность равна 3/5.

Задача 3. В коробке 5 красных, 4 синих и 3 зелёных шара. Наугад достают один шар и ищут вероятность того, что он не зелёный. Удобно использовать противоположное событие, а затем проверить результат прямым подсчётом.

1. Всего шаров 12, а событие A — шар зелёный — имеет вероятность P(A) = 3/12 = 1/4.
2. Событие Ā означает «шар не зелёный», поэтому P(Ā) = 1 − 1/4 = 3/4.
3. Прямая проверка даёт 5 + 4 = 9 незелёных шаров из 12: 9/12 = 3/4. Ответы совпали.

Ответ: вероятность равна 3/4.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Складывать P(A) и P(B) для любых событий без вычитания пересечения. Так происходит, когда забывают, что общие исходы входят в оба события. Проверьте, могут ли события произойти одновременно; если да, используйте полную формулу.

Ошибка 2. Считать события несовместными только потому, что они описаны разными словами. Различие формулировок ещё не доказывает отсутствие общих исходов. Выпишите подходящие результаты и проверьте, есть ли среди них общие.

Ошибка 3. Применять формулу для несовместных событий без проверки условия A ∩ B = ∅. Если пересечение ненулевое, простое сложение даст завышенный ответ. Перед вычислением явно укажите, почему одновременное наступление невозможно.

Ошибка 4. Путать A и Ā. Противоположное событие не является другим произвольным событием: оно содержит все исходы, где A не произошло. Проверка проста: A и Ā не пересекаются, а их объединение охватывает все исходы.

Связь с другими темами

До изучения закона сложения нужны понятия случайного, достоверного и невозможного событий, вероятности и пересечения событий. Без них трудно понять, какие исходы входят в объединение и почему некоторые вероятности складываются.

Закон применяется при подсчёте вероятности объединения событий с несколькими признаками. Он особенно полезен в задачах, где нужно найти вероятность хотя бы одного из условий или использовать полную группу несовместных событий.

Связь с противоположным событием помогает заменять сложный прямой подсчёт более простым. Если легче определить вероятность ненаступления события, используют формулу P(A) = 1 − P(Ā) или P(Ā) = 1 − P(A).

Что запомнить

• Сумма событий A и B означает наступление хотя бы одного из них.
• Для любых событий P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
• Для несовместных событий P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
• Несовместные события не могут наступить одновременно.
• Событие и противоположное ему событие образуют достоверное событие.
• Вероятность противоположного события равна 1 − P(A).