"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия (базовый и углублённый уровни)", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Случайное событие удобно представлять как множество исходов, при которых оно происходит. Тогда объединение, пересечение, дополнение и разность множеств помогают описывать новые события: например, «произошло хотя бы одно» или «первое произошло, а второе нет». Эти операции нужны, чтобы точно формулировать условия случайного опыта и затем вычислять вероятности. Главное — понимать смысл слов «или», «и», «не» и помнить, что порядок важен в разности событий.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сумма событий A и B — событие A ∪ B, которое происходит, если произошло хотя бы одно из событий A или B. Знак ∪ означает объединение множеств исходов. Эта операция нужна, когда нас интересует любой исход, подходящий хотя бы под одно из двух условий.
Произведение событий A и B — событие A ∩ B, которое происходит, если произошли оба события. Знак ∩ обозначает пересечение: в него входят только общие исходы A и B. Такое обозначение помогает выразить одновременное выполнение двух условий.
Противоположное событие событию A обозначают Ā; оно происходит тогда и только тогда, когда A не произошло. Его исходы — все возможные исходы опыта, кроме входящих в A. Это удобно, когда условие «не A» проще описать, чем само событие A.
Разность событий A и B обозначают A \ B; она происходит, если A произошло, а B не произошло. В множество A \ B входят исходы A, которые не принадлежат B. Эта операция позволяет уточнить событие, исключив из него случаи, отвечающие условию B.
Каждый исход случайного опыта можно рассматривать как элемент множества всех возможных исходов Ω. Событие тогда является подмножеством Ω: оно включает именно те исходы, при которых условие события выполнено. Поэтому действия с событиями можно выполнять как действия с множествами, а каждый результат трактовать как новое событие.
Сумма событий объединяет исходы, подходящие для A или для B. В обычной речи «или» иногда понимают как выбор ровно одного варианта, но в обозначении A ∪ B оно включает и возможность, что верны оба условия. Это следует из определения объединения: туда попадает каждый элемент хотя бы одного из множеств, в том числе их общей части.
Произведение оставляет только общие исходы событий A и B. Чтобы исход попал в A ∩ B, он должен принадлежать обоим множествам одновременно, поэтому достаточно выполнения лишь одного условия уже недостаточно. Именно так пересечение множеств передаёт смысл слова «и» в описании события.
Противоположное событие Ā дополняет A до множества Ω, потому что любой исход опыта либо входит в A, либо не входит в него. Эти две возможности не пересекаются: один исход не может одновременно удовлетворять условию A и его отрицанию. Вместе A и Ā охватывают всё пространство исходов, поэтому событие A ∪ Ā происходит при любом результате опыта.
Разность A \ B сохраняет исходы, которые принадлежат A, и отбрасывает те из них, которые одновременно принадлежат B. Поэтому событие можно прочитать как «A произошло, но B не произошло». Порядок здесь задаёт, какие исходы сначала берутся, а какие удаляются; при перестановке букв меняются и исходные условия, так что результаты обычно различны.
| Операция | Обозначение | Когда происходит | Связь с множествами |
|---|---|---|---|
| Сумма событий | A ∪ B | Произошло A или B, или оба события | Объединение |
| Произведение событий | A ∩ B | Произошли и A, и B | Пересечение |
| Противоположное событие | Ā | A не произошло | Дополнение до множества всех исходов |
| Разность событий | A \ B | A произошло, B не произошло | Разность множеств |
Пользуйся таблицей так: сначала прочитай условие словами, а затем выбери операцию с подходящим смыслом. Если известны множества исходов, выполни соответствующее действие над ними. Для разности отдельно проверь порядок событий.
При броске кубика A — выпало чётное число, B — выпало число больше 4. Нужно записать A ∪ B и A ∩ B. Сначала перечислим исходы: множество всех результатов равно {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {2, 4, 6}, B = {5, 6}. Теперь можно выполнить объединение и пересечение, не теряя смысл условий.
Для A ∪ B берём исходы из обоих множеств и не повторяем общий исход. Получаем {2, 4, 5, 6}; число 6 подходит сразу к обоим условиям, но в множестве записывается один раз.
Для A ∩ B ищем только общие элементы A и B. В обоих множествах есть 6, поэтому пересечение равно {6}.
Ответ: A ∪ B = {2, 4, 5, 6}, A ∩ B = {6}. Объединение содержит исходы, удовлетворяющие хотя бы одному условию, а пересечение — лишь те, которые удовлетворяют обоим.
Из колоды вытягивают одну карту. A — карта красной масти, B — карта червовой масти; требуется описать Ā и A \ B. Красными являются две масти: черви и бубны, а все остальные масти — чёрные. При этом каждая червовая карта уже входит в событие A.
Чтобы найти Ā, исключаем из пространства исходов все красные карты. Остаются карты чёрных мастей — пики и трефы.
Чтобы найти A \ B, берём красные карты и удаляем из них червовые. Остаются только карты бубновой масти.
Ответ: Ā — вытянута чёрная карта; A \ B — вытянута бубновая карта. В первом случае исключены все исходы A, а во втором из A исключены только исходы B.
Запишем исходы в порядке первого и второго бросков: ГГ, ГР, РГ, РР, где Г — герб, Р — решка. A — герб выпал хотя бы один раз, значит A = {ГГ, ГР, РГ}; B — герб выпал ровно один раз, значит B = {ГР, РГ}. По этим множествам найдём три операции.
Пересечение A ∩ B состоит из исходов, входящих в оба события. Каждый исход B уже входит в A, поэтому A ∩ B = {ГР, РГ}.
В объединении A ∪ B собраны все исходы хотя бы одного события. Поскольку B целиком входит в A, объединение равно A: {ГГ, ГР, РГ}.
Для A \ B оставляем исходы A, которых нет в B. Из {ГГ, ГР, РГ} удаляем ГР и РГ, получаем {ГГ}.
Ответ: A ∩ B = {ГР, РГ}, A ∪ B = {ГГ, ГР, РГ}, A \ B = {ГГ}. Перечисление исходов позволяет проверить каждую операцию непосредственно по её определению.
Ошибка: понимать «A или B» как ровно одно событие. Так случается из-за привычного бытового смысла слова «или». В сумме A ∪ B исходы, где произошли оба события, тоже допустимы. Проверь себя: если исход входит и в A, и в B, он обязательно должен попасть в их объединение.
Ошибка: путать сумму и произведение. Обе операции используют два события, поэтому их обозначения и смыслы иногда смешивают. Сумма берёт исходы из A или B, а произведение оставляет только общие исходы. Для проверки спроси себя: достаточно одного выполненного условия или нужны оба?
Ошибка: считать, что Ā только несовместно с A. Несовместность означает, что два события не происходят вместе, но сама по себе не гарантирует, что они охватывают все исходы. Противоположное событие должно содержать каждый исход, не входящий в A. Проверь, что вместе A и Ā дают всё пространство Ω.
Ошибка: переставлять события в разности. Запись A \ B задаёт порядок: сначала берутся исходы A, затем из них убираются исходы B. При перестановке получится другой вопрос — что входит в B, но не входит в A. Проверка проста: проговори запись как «A произошло, B не произошло».
Для работы с событиями нужно уметь задавать пространство элементарных исходов и представлять событие как множество подходящих исходов. Так операции над событиями связывают вероятность с уже знакомыми операциями над множествами; диаграммы Эйлера—Венна помогают изобразить объединение, пересечение и дополнение. Позже эти операции пригодятся при вычислении вероятностей объединения, пересечения и противоположных событий. Умение точно перевести условие задачи в множество исходов помогает избежать ошибок в вычислениях.
Что означает сумма событий: достаточно ли, чтобы произошло только одно из них?
Достаточно, чтобы произошло хотя бы одно из событий A и B. Сумма также включает исходы, при которых произошли оба события.
Чем произведение событий отличается от суммы?
Сумма A ∪ B происходит, если случилось A или B, в том числе оба события. Произведение A ∩ B происходит только тогда, когда случились и A, и B.
Могут ли событие и противоположное ему произойти одновременно?
Нет: если A произошло, то противоположное ему событие Ā не произошло. При этом одно из двух обязательно случается, поэтому их сумма — достоверное событие.
Как найти разность событий по их множествам исходов?
Нужно взять все исходы, входящие в A, и удалить из них те, которые входят в B. Оставшееся множество исходов и есть A \ B.
Почему A \ B и B \ A обычно не совпадают?
В A \ B остаются исходы, принадлежащие A, но не B, а в B \ A — исходы, принадлежащие B, но не A. Это разные условия, поэтому результат зависит от порядка событий.
§ 2. Операции над событиями
