"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия (базовый и углублённый уровни)", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Вероятность помогает количественно оценить, насколько возможно случайное событие. Для этого описывают все результаты опыта, выделяют среди них подходящие и сравнивают их число или размер. В конечной модели с равновозможными исходами считают исходы, а в геометрической — сравнивают длины, площади или объёмы. Геометрическая формула работает, если точку выбирают равномерно. Эти идеи позволяют решать задачи о случайных результатах и понимать, почему вероятность всегда находится от 0 до 1.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Случайный опыт — действие, результат которого заранее неизвестен, хотя возможные результаты можно описать. Например, при броске кубика заранее нельзя знать, какая грань окажется сверху, но можно перечислить числа от 1 до 6. Понятие опыта задаёт ситуацию, для которой мы хотим оценить вероятность.
Элементарный исход — один конкретный возможный результат случайного опыта. Для кубика элементарным исходом будет, например, выпадение числа 2. Исход — отдельный результат, а событие может включать сразу несколько результатов, поэтому их нельзя отождествлять.
Событие — множество элементарных исходов, при которых оно происходит. Событие «выпало чётное число» включает исходы 2, 4 и 6; достоверное событие охватывает все исходы, невозможное не включает ни одного, а случайное включает часть исходов. Такое описание позволяет точно указать, какие результаты нас интересуют.
Мера множества характеризует его размер: это может быть число элементов, длина, площадь или объём. Вероятность события при равновозможных исходах определяют как отношение меры благоприятной части к мере всего пространства исходов. Мера помогает сравнить части множества даже тогда, когда исходов бесконечно много и перечислить их нельзя.
Чтобы изучать случайный опыт, сначала составляют пространство исходов — множество всех результатов, которые могут получиться. Например, при броске кубика это {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Событие задают как подмножество этого пространства: в него входят только исходы, подходящие под условие задачи. Благодаря такому описанию можно проверить, что учтены все результаты и ни один подходящий не пропущен.
Если исходов конечное число и каждый из них равновозможен, вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к числу всех исходов. Причина в том, что при равных шансах каждый исход вносит одинаковую долю в общую вероятность. Поэтому сумма шансов всех исходов равна 1, а доля исходов события и есть его вероятность. Если шансы результатов различаются, просто считать их нельзя.
В непрерывной модели возможных точек бесконечно много: например, точка может оказаться где угодно на отрезке. Перечислить такие исходы нельзя, поэтому сравнивают размеры областей, в которых точка может оказаться. На отрезке мерой служит длина, на плоскости — площадь, в пространстве — объём. Размер благоприятной части показывает, какую долю всего пространства она занимает.
Геометрическая вероятность равна отношению меры благоприятной области к мере всей области, если точку выбирают равномерно. Равномерность означает, что равные по мере части пространства имеют одинаковый шанс получить точку. Без этого условия большая область не обязательно будет получать точку чаще пропорционально своему размеру. Значит, одной геометрической формулы недостаточно: нужно проверить способ выбора.
Вероятность не может быть отрицательной, а благоприятная часть не больше всего пространства, поэтому вероятность лежит между 0 и 1 включительно. Достоверному событию соответствует вся совокупность исходов, значит, его вероятность равна 1; невозможному — пустая часть и вероятность 0. Противоположное событие происходит ровно тогда, когда исходное не происходит. Эти два события вместе охватывают все варианты, поэтому сумма их вероятностей равна 1.
| Что сравниваем | Конечная модель | Геометрическая модель |
|---|---|---|
| Пространство возможных исходов | Конечный список исходов | Отрезок, плоская область или тело |
| Благоприятная часть пространства | Исходы, при которых событие происходит | Область, в которой точка удовлетворяет условию |
| Какая мера используется | Число исходов | Длина, площадь или объём |
| Формула вероятности | Число благоприятных / число всех исходов | Мера благоприятной области / мера всей области |
| Необходимое условие применения | Исходы равновозможны | Точку выбирают равномерно |
Сначала определите, какая модель подходит задаче: есть ли конечный список результатов или выбирается точка из области. Затем найдите общую и благоприятную часть пространства и используйте одну и ту же меру для обеих. Перед вычислением обязательно проверьте условие равновозможности или равномерного выбора.
Задача 1. При одном броске правильного кубика найти вероятность выпадения числа, большего 4. Правильный кубик имеет шесть равновозможных результатов, а событие включает те результаты, которые удовлетворяют условию. Поэтому достаточно посчитать их и разделить на общее количество.
Ответ: 1/3. Важно не включить число 4: оно не больше 4, а строго больше. Равновозможность здесь следует из того, что кубик правильный.
Задача 2. На отрезке длины 10 случайно и равномерно выбирают точку. Найти вероятность, что она окажется на отрезке длины 3 внутри него. Отдельные точки нельзя пересчитать как конечный набор исходов, поэтому сравним длины. Условие о равномерном выборе позволяет применить отношение длин.
Ответ: 0,3. Положение отрезка длины 3 внутри исходного отрезка не меняет расчёт. Если бы точку выбирали неравномерно, отношение длин само по себе не определяло бы вероятность.
Задача 3. В квадрат со стороной 4 случайно и равномерно бросают точку. Найти вероятность её попадания во вписанный круг. Поскольку точка выбирается на плоскости, сравнивать нужно площади, а не длины. Радиус вписанного круга равен половине стороны квадрата.
Ответ: π/4 (примерно 0,785). Граница круга имеет нулевую площадь, поэтому включение или исключение попаданий точно на границу не меняет вероятность. Равномерный выбор точки позволяет связать вероятность с долей площади.
Считать исходы равновозможными только потому, что удалось их перечислить, — ошибка: список показывает, что возможно, но не сообщает, каковы шансы. Её допускают, смешивая наличие результата с вероятностью результата. Проверьте условия опыта: например, правильный ли кубик используется и нет ли причин, из-за которых некоторые исходы вероятнее.
В геометрической задаче иногда сравнивают длины вместо площадей или площади вместо объёмов. Так происходит, когда выбирают знакомую формулу, не учитывая, где расположены исходы. Уточните размерность пространства: на прямой нужна длина, на плоскости площадь, в пространстве объём.
Отношение мер нельзя применять без проверки равномерности выбора точки. Большая область при неравномерном выборе может получать точку не чаще меньшей в соответствии с отношением их размеров. Найдите в условии указание на равномерный выбор; если его нет, формула может потребовать дополнительных сведений о распределении.
Событие иногда путают с одним элементарным исходом, хотя событие может включать несколько результатов. Ошибка возникает, если условие задачи сразу заменяют одним числом, не проверив остальные подходящие варианты. Запишите все исходы события и сопоставьте их с полным пространством исходов.
Для описания событий нужны понятия множества, подмножества, объединения и дополнения множеств. Они помогают записывать, какие исходы подходят условию, и находить событие, противоположное данному. Навык считать варианты нужен для конечной модели, где сравнивают количество благоприятных и всех исходов.
Эти знания станут основой для комбинаторных методов вычисления вероятностей: там учатся быстро подсчитывать исходы, не перечисляя их по одному. Геометрическая вероятность расширяет подход на непрерывные модели, где возможных точек бесконечно много. Она позволяет оценивать вероятность через размеры областей при равномерном выборе.
Чем событие отличается от элементарного исхода?
Элементарный исход — один конкретный результат опыта, например выпадение числа 3 на кубике. Событие может объединять несколько таких исходов: событие «выпало больше 4» включает 5 и 6.
Как понять, что исходы равновозможны?
Исходы равновозможны, если условия опыта дают каждому из них одинаковый шанс. Это нужно обосновать устройством опыта: например, у правильного кубика грани одинаковы, поэтому все шесть результатов равновозможны.
Почему вероятность нельзя получить больше 1?
Благоприятные исходы составляют часть всех возможных исходов, поэтому их число или мера не превосходит общего числа или меры. Их отношение не может быть больше 1.
Когда в задаче нужно сравнивать площади, а не длины?
Площадями сравнивают области на плоскости, например круг и квадрат. Для точек на отрезке используют длины, а для областей в пространстве — объёмы.
Можно ли использовать геометрическую вероятность, если точку выбирают неравномерно?
Простое отношение длин, площадей или объёмов в таком случае применять нельзя: равные по размеру области могут иметь разные шансы получить точку. Нужна дополнительная информация о том, как распределён выбор.
§ 1. Вероятности событий и меры множеств
