"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия (базовый и углублённый уровни)", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Касательная — прямая, которая проходит через точку графика функции и в этой точке имеет тот же наклон, что и график. Её уравнение помогает описывать поведение функции около выбранной точки и строить линейное приближение графика. Главный инструмент здесь — производная: значение f′(x₀) становится угловым коэффициентом касательной. Если известны абсцисса точки касания, значение функции и её производной, уравнение прямой можно записать по готовой формуле.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Касательная к графику функции — прямая, проходящая через точку графика и имеющая в ней общий с графиком наклон. Иными словами, вблизи точки касания прямая направлена так же, как график. Это позволяет заменить сложную кривую прямой, чтобы изучать её поведение около выбранного места.
Точка касания — точка графика функции, в которой проводится касательная; её обычно обозначают A(x₀; f(x₀)). Здесь x₀ — абсцисса, то есть координата по горизонтальной оси, а f(x₀) — ордината, значение функции. Эти координаты нужны, чтобы задать положение прямой на плоскости.
Угловой коэффициент касательной — число f′(x₀), показывающее наклон касательной к графику в точке с абсциссой x₀. Производная f′(x₀) сообщает, насколько быстро меняется функция именно около этой точки. Поэтому она определяет направление и крутизну прямой.
Уравнение касательной — формула y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀), задающая касательную к графику функции. В ней f(x₀) отвечает за положение точки, а f′(x₀) — за наклон. Формула пригодится, когда нужно построить касательную или найти её уравнение по функции и точке.
Чтобы понять появление касательной, возьмём на графике две точки: одну закрепим, а другую будем приближать к ней. Прямая через эти точки называется секущей, а её наклон определяется отношением изменения значений функции к изменению аргумента. По мере сближения точек секущая поворачивается и приближается к прямой, которая показывает направление графика в закреплённой точке. Эту предельную прямую и рассматривают как касательную.
Угловой коэффициент секущей равен отношению приращения функции к приращению аргумента. Когда вторая точка приближается к первой, это отношение стремится к производной f′(x₀), если производная существует. Значит, производная не просто описывает изменение функции: она задаёт наклон предельной прямой. Именно поэтому в уравнении касательной коэффициент при x − x₀ равен f′(x₀).
Уравнение прямой, проходящей через точку (x₀; y₀) с угловым коэффициентом k, имеет вид y − y₀ = k(x − x₀). Для касательной точка лежит на графике, поэтому y₀ = f(x₀), а наклон равен производной, то есть k = f′(x₀). Подстановка этих двух значений даёт формулу y − f(x₀) = f′(x₀)(x − x₀), или y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀). Так уравнение прямой связывается с данными функции.
Касательная обязательно проходит через точку графика с координатами (x₀; f(x₀)), потому что именно через неё проводится прямая. Это видно и из формулы: если подставить x = x₀, слагаемое f′(x₀)(x − x₀) станет нулём, а y окажется равным f(x₀). Такая проверка помогает заметить пропуск слагаемого или ошибку в координатах.
Знак производной показывает направление наклона касательной. При f′(x₀) > 0 её угловой коэффициент положителен, поэтому прямая поднимается слева направо; при f′(x₀) < 0 коэффициент отрицателен, и прямая опускается. Если f′(x₀) = 0, прямая не наклонена и параллельна оси Ox. Это описание относится к касательной в конкретной точке.
График y = x² и его касательная в точке x₀ = 1
| Элемент | Обозначение или формула | Смысл |
|---|---|---|
| Абсцисса точки касания | x₀ | Значение аргумента, в котором проводится касательная |
Сначала найдите x₀ из условия: это значение аргумента, где требуется провести касательную. Затем вычислите отдельно f(x₀) и f′(x₀), чтобы не перепутать координату точки с наклоном прямой. Подставьте полученные величины в основную формулу и проверьте, что при x = x₀ выходит y = f(x₀).
Найдём уравнение касательной к графику f(x) = x² при x₀ = 2. Сначала нужно определить точку графика, а затем наклон касательной в ней. После этого обе величины подставим в общую формулу.
Ответ: y = 4x − 4. Проверка показывает, что при x = 2 получается y = 4, значит, прямая проходит через точку касания.
Найдём уравнение касательной к f(x) = sin x в точке x₀ = π/3. Здесь важно точно подставить аргумент и в функцию, и в её производную. Для вычислений используем табличные значения синуса и косинуса.
Ответ: y = √3/2 + ½(x − π/3). При x = π/3 линейная часть, содержащая x − π/3, обращается в ноль, и остаётся значение функции.
Найдём точки графика f(x) = x³ − 3x, в которых касательная параллельна прямой y = 9x + 2, и составим уравнения касательных. У заданной прямой угловой коэффициент равен 9. Значит, требуется найти точки, где производная функции тоже равна 9, а не точки, где совпадают значения функций.
Ответ: точки (−2; −2) и (2; 2); касательные y = 9x + 16 и y = 9x − 16. У обеих прямых коэффициент при x равен 9, поэтому они параллельны заданной прямой.
Можно перепутать f(x₀) и f′(x₀): первое число является ординатой точки, второе — наклоном касательной. Ошибка возникает потому, что оба значения вычисляют в одном аргументе x₀. Подписывайте результаты отдельно как координату y₀ и коэффициент k; в формуле они занимают разные места.
Иногда записывают y = f′(x₀)(x − x₀), забывая слагаемое f(x₀). Тогда прямая обычно проходит не через точку касания, потому что при x = x₀ получается y = 0. Подставьте x₀ в полученное уравнение и сравните результат с f(x₀): значения должны совпасть.
При вычислении наклона можно ошибиться в знаке производной или подставить x₀ в исходную функцию вместо производной. Такое случается, если переходить между формулами без отдельной записи вычислений. Сначала найдите f′(x), затем отдельно вычислите f′(x₀), а значение функции найдите в другой строке.
В задаче о параллельных прямых иногда приравнивают значения функций, хотя параллельность определяется их наклонами. Уравнение y = 9x + 2 имеет коэффициент 9, поэтому нужно решать f′(x₀) = 9. Проверка проста: у найденных касательных коэффициент при x должен совпадать с коэффициентом заданной прямой.
Для составления уравнения касательной нужны понятие производной, её геометрический смысл и уравнение прямой через точку с заданным угловым коэффициентом. Поэтому тема соединяет свойства функции с геометрией прямых. Уравнение касательной применяют при исследовании графиков, поиске экстремумов и построении наилучшего линейного приближения функции около точки. Это один из способов использовать производную в задачах математического анализа.
Чем касательная отличается от секущей?
Секущая пересекает график в двух точках, а касательная задаёт его наклон в одной выбранной точке. Касательную можно получить как предельное положение секущей, когда вторая точка приближается к точке касания.
Почему в уравнении касательной появляется производная?
Производная в точке показывает мгновенную скорость изменения функции и геометрически равна наклону графика. Поэтому она служит угловым коэффициентом касательной.
Как понять, в какой точке нужно вычислять производную?
Найдите абсциссу точки касания x₀ из условия задачи. Затем вычислите f′(x₀), подставив это значение в производную, а не в исходную функцию.
Что делать, если в задаче сказано, что касательная параллельна заданной прямой?
Определите угловой коэффициент заданной прямой. Приравняйте его к f′(x₀), найдите подходящие значения x₀ и составьте уравнение касательной в каждой найденной точке.
Всегда ли касательная пересекает график только в точке касания?
Нет. Касательная может пересечь график и в других точках, удалённых от точки касания. Её название описывает совпадение наклона с графиком именно в выбранной точке, а не число пересечений.
§ 3. Уравнение касательной
