"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)", Погорелов А.В.
Вписанный четырёхугольник имеет вершины на одной окружности, а описанный — стороны, касающиеся одной окружности. Эти фигуры помогают связывать углы, стороны и окружности в геометрических задачах. Главные ориентиры: у вписанного четырёхугольника сумма противоположных углов равна 180°, а у описанного равны суммы длин противоположных сторон. Обратные утверждения позволяют распознавать такие четырёхугольники по известным данным.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Вписанный четырёхугольник — выпуклый четырёхугольник, все вершины которого лежат на одной окружности; эту окружность называют описанной около него. Иными словами, окружность проходит через каждую вершину, а стороны соединяют соседние точки на ней. Это определение помогает узнавать фигуру по расположению её вершин и использовать свойства вписанных углов.
Описанный четырёхугольник — выпуклый четырёхугольник, все стороны которого касаются одной окружности; эту окружность называют вписанной в него. Окружность касается каждой стороны ровно в одной точке, а её центр равноудалён от всех сторон. Это определение важно, когда нужно связать длины сторон с отрезками касательных.
Признак вписанного четырёхугольника — условие, по которому можно установить, что его вершины лежат на одной окружности. Для выпуклого четырёхугольника таким условием служит равенство суммы противоположных углов 180°. Признак позволяет доказать наличие окружности, не строя её и не проверяя отдельно каждую вершину.
Признак описанного четырёхугольника — условие, по которому можно установить, что все стороны четырёхугольника касаются одной окружности. Для выпуклого четырёхугольника это равенство сумм длин противоположных сторон. Оно удобно, если в задаче известны длины сторон, но сама окружность не задана.
Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. У четырёхугольника противоположные углы опираются на две дуги, вместе составляющие полную окружность, то есть 360°. Поэтому сумма этих углов равна половине от 360° — 180°. Например, для ABCD получаем ∠A + ∠C = 180°.
Обратное утверждение тоже верно для выпуклого четырёхугольника: если ∠A + ∠C = 180°, его можно считать вписанным. Проведём через A, B и D окружность: три не лежащие на одной прямой точки задают окружность. Угол между сторонами AB и AD и угол, опирающийся на нужную дугу с другой стороны, дополняют друг друга до 180°. По данному равенству вершина C оказывается на этой же окружности, и четырёхугольник вписан.
Пусть окружность касается сторон четырёхугольника, а точки касания разбивают стороны на отрезки. Из одной вершины к двум точкам касания проведены касательные, поэтому их длины равны. Если сложить длины противоположных сторон, каждая такая касательная появляется по одному разу в обеих суммах. Отсюда AB + CD = BC + DA.
Равенство сумм противоположных сторон позволяет распознать описанный четырёхугольник, если он выпуклый. Идея доказательства состоит в том, чтобы построить окружность, касающуюся двух соседних сторон, а затем сравнить расстояния от её центра до остальных сторон. Равенство длин заставляет оставшиеся стороны быть касательными к той же окружности; это и даёт признак. Условие относится к длинам, а не к величинам углов.
В доказательстве сначала выясните, какой объект связан с четырёхугольником: окружность проходит через вершины или касается сторон. В первом случае используйте равенство противоположных углов 180° и его обратное утверждение. Во втором — равенство сумм длин противоположных сторон. Так вы не перепутаете свойства и признаки разных фигур.
| Что рассматриваем | Вписанный четырёхугольник | Описанный четырёхугольник |
|---|---|---|
| Расположение окружности | Окружность проходит через все вершины | Окружность касается всех сторон |
| Сумма противоположных углов | Равна 180° | Общего равенства для противоположных углов нет |
| Суммы длин противоположных сторон | Общего равенства нет | Равны |
| Признак существования соответствующей окружности | Сумма противоположных углов равна 180° | Суммы длин противоположных сторон равны |
Сначала определите, что именно нужно доказать: прохождение окружности через вершины или касание сторон. Затем выберите соответствующую строку таблицы и проверьте нужное равенство. Помните, что в каждом столбце свой признак: равенство углов не заменяет равенства длин сторон и наоборот.
В четырёхугольнике ABCD углы A и C равны 112° и 68°. Докажите, что ABCD — вписанный. Даны именно противоположные углы, поэтому проверим признак вписанного четырёхугольника. Если их сумма равна 180°, можно заключить, что все вершины лежат на одной окружности.
Ответ: ABCD — вписанный четырёхугольник.
Вписанный четырёхугольник имеет угол A, равный 73°. Найдите угол C и объясните, можно ли однозначно найти угол B. Здесь известен один угол, а для вписанного четырёхугольника дана связь между противоположными углами. Для соседних углов такого правила напрямую применять нельзя.
Ответ: ∠C = 107°; угол B по данным задачи однозначно найти нельзя.
Стороны выпуклого четырёхугольника последовательно равны 5, 8, 7 и 4. Определите, можно ли описать около него окружность, и обоснуйте ответ. «Описать окружность около четырёхугольника» здесь означает найти окружность, касающуюся всех его сторон. Поэтому нужно применить признак описанного четырёхугольника и сравнить суммы длин противоположных сторон.
Ответ: да, около четырёхугольника можно вписать окружность.
Ошибка — считать, что сумма любых двух углов вписанного четырёхугольника равна 180°. Так думают, перенося свойство противоположных углов на соседние. Проверяйте обозначения: равны 180° именно пары A и C, B и D.
Ошибка — путать вписанный и описанный четырёхугольники. В первом окружность проходит через вершины, во втором касается сторон; слова легко перепутать из-за похожего звучания. Перед решением нарисуйте схему или проговорите, что делает окружность: проходит через точки или касается отрезков.
Ошибка — применять равенство сумм противоположных сторон к вписанному четырёхугольнику. Это свойство относится к описанному, поскольку возникает из равных отрезков касательных. Чтобы проверить выбор, посмотрите, касается ли окружность сторон; если она проходит через вершины, используйте связь углов.
Ошибка — считать, что в равенстве сумм противоположных сторон сравниваются углы. Такое недоразумение возникает, когда не замечают, что речь идёт о длинах. Запишите равенство с обозначениями сторон, например AB + CD = BC + DA, и убедитесь, что в обеих частях стоят именно длины.
Для этой темы нужны свойства центральных и вписанных углов, дуг окружности и касательных. Связь угла с дугой объясняет, почему противоположные углы вписанного четырёхугольника дополняют друг друга до 180°. Равенство касательных из одной точки помогает обосновать свойство описанного четырёхугольника.
Эти свойства пригодятся при доказательстве утверждений о трапециях, параллелограммах и других четырёхугольниках. Они также помогают решать задачи на окружность: по углам можно установить, что точки лежат на одной окружности, а по длинам сторон — что окружность касается сторон фигуры.
Как отличить вписанный четырёхугольник от описанного?
У вписанного четырёхугольника все вершины лежат на одной окружности. У описанного все четыре стороны касаются одной окружности.
Какие углы вписанного четырёхугольника в сумме дают 180°?
В сумме 180° дают противоположные углы: например, ∠A + ∠C. То же верно для другой пары — ∠B + ∠D.
Как по углам доказать, что четырёхугольник вписанный?
Проверьте, что сумма противоположных углов выпуклого четырёхугольника равна 180°. По признаку вписанного четырёхугольника его вершины тогда лежат на одной окружности.
Почему в описанном четырёхугольнике равны суммы противоположных сторон?
Из каждой вершины к точкам касания проведены отрезки касательных, а касательные, проведённые из одной точки, равны. При сложении длин противоположных сторон эти равные отрезки дают одинаковые суммы.
Достаточно ли равенства сумм противоположных сторон, чтобы доказать, что четырёхугольник описанный?
Да, если четырёхугольник выпуклый: равенство сумм длин противоположных сторон является признаком описанного четырёхугольника. По нему можно заключить, что существует окружность, касающаяся всех его сторон.
86. Свойства и признаки вписанных и описанных четырехугольников
