87. Углы в окружности

Определения и обозначения

Центральный угол — угол с вершиной в центре окружности; его стороны пересекают окружность в концах соответствующей дуги. Например, если центр обозначен O, а точки пересечения сторон с окружностью — A и B, угол AOB связан с дугой AB. Это понятие позволяет переводить градусную меру дуги в величину угла.

Вписанный угол — угол с вершиной на окружности, стороны которого пересекают окружность и задают дугу. Если вершина угла — C, а стороны проходят через A и B, его обозначают ∠ACB. По такому углу можно определить величину дуги AB, не содержащей C.

Дуга окружности — часть окружности между двумя её точками. Две точки делят окружность на две дуги, поэтому в задаче следует уточнять, о какой из них идёт речь. Это помогает не подставить в вычисление меру дуги, на которую угол не опирается.

Угол между касательной и хордой имеет вершину в точке касания: одна его сторона лежит на касательной, другая — на хорде. Например, касательная в A и хорда AB образуют угол с вершиной A. Связь такого угла с дугой позволяет решать задачи, даже если в окружности нет вписанного угла с теми же сторонами.

Как это устроено

Центральный угол измеряется градусной мерой дуги, на которую он опирается. Каждой точке этой дуги соответствует луч, проведённый из центра через неё, а концы дуги задают стороны центрального угла. Когда точка движется по окружности, луч поворачивается вокруг центра; величина поворота и градусная мера пройденной дуги совпадают. Так связь угла и дуги возникает из общего центра, а не из отдельного правила для вычислений.

Вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, вдвое меньше центрального. Чтобы увидеть причину, соедините центр окружности с вершиной вписанного угла и с концами его сторон: получаются равнобедренные треугольники, поскольку их стороны от центра — радиусы. Углы при основании каждого такого треугольника равны, а сумма углов треугольника равна 180°. С учётом того, что центральный угол задаёт поворот между радиусами, эти равенства дают вписанный угол, равный половине центрального. Если центр лежит на стороне вписанного угла, случай упрощается: эта сторона проходит по диаметру, а полученное соотношение следует из разбиения угла на части.

Если вершины нескольких вписанных углов находятся на окружности, а их стороны проходят через одни и те же концы дуги, все эти углы равны. Причина в том, что каждый из них равен половине одной и той же градусной меры центрального угла. Нужно следить, чтобы вершины располагались так, что углы опираются именно на одну дугу, а не на разные дуги между концами хорды. Тогда равенство получается независимо от точного положения вершин.

Когда вписанный угол опирается на диаметр, его стороны стягивают полуокружность. Центральный угол, соответствующий полуокружности, равен 180°, поскольку полный оборот вокруг центра составляет 360°. Вписанный угол равен половине этого значения, то есть 90°. Поэтому треугольник, у которого одна сторона — диаметр, а третья вершина лежит на окружности, прямоугольный.

Угол между касательной и хордой связан с дугой так же, как вписанный угол: его величина равна половине градусной меры дуги, заключённой внутри угла. Это можно понять, проведя через точку касания хорду к другой точке окружности и сравнив углы с углом в вписанном треугольнике; радиус в точке касания перпендикулярен касательной. У хорды есть две дуги, и от выбранного луча касательной зависит, какая из них оказывается внутри угла. Поэтому острый угол соответствует меньшей дуге, а тупой — дополнительной дуге.

Углы, связанные с дугами окружности

Пользуйтесь таблицей после того, как отметили вершину угла и концы его сторон на окружности. Затем найдите дугу, соответствующую именно этому углу, и примените указанное соотношение. Если дуг две, обязательно уточните, какая из них не содержит вершину или лежит внутри угла.

Разбор задач

Задача 1. Центральный угол опирается на дугу величиной 84°. Найдите величину угла. Поскольку вершина находится в центре, достаточно применить равенство между центральным углом и соответствующей дугой.

1. Определяем, что задана дуга, на которую опирается центральный угол.
2. Используем соотношение: центральный угол равен градусной мере этой дуги.
3. Следовательно, угол равен 84°.

Ответ: 84°. Здесь не нужно делить меру дуги пополам: это правило относится к вписанному углу.

Задача 2. Вписанный угол опирается на дугу величиной 118°. Найдите угол и объясните, почему выбирается именно эта дуга. Вершина угла лежит на окружности, поэтому сначала уточняем, что дуга между концами сторон не содержит эту вершину.

1. По условию нужная дуга имеет меру 118° и не содержит вершину угла.
2. Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается: 118° : 2 = 59°.
3. Дугу, содержащую вершину, брать нельзя: стороны угла отсекают противоположную дугу между концами.

Ответ: 59°. Если в условии указана другая дуга, проверьте её расположение относительно вершины, прежде чем делить меру пополам.

Задача 3. Хорда AB стягивает дугу в 136°, точка C лежит на окружности, а касательная проведена в A. Найдите вписанный угол ACB и острый угол между касательной и хордой AB. Предполагаем, что C лежит на дуге, дополнительной к указанной 136°; иначе данные не определяют угол однозначно.

1. Угол ACB опирается на дугу AB, не содержащую C. При выбранном расположении C это дуга в 136°.
2. Вписанный угол равен половине дуги: 136° : 2 = 68°.
3. Острый угол между касательной в A и хордой AB соответствует той же дуге в 136°, поэтому также равен её половине.

Ответ: ∠ACB = 68°, острый угол между касательной и хордой AB равен 68°. Если точка C лежит на другой дуге, нужно пересмотреть, какую дугу отсекает угол ACB.

Типичные ошибки

Первая ошибка — приравнять вписанный угол градусной мере дуги. Так делают, перенося на него свойство центрального угла и забывая о множителе ½. Проверьте положение вершины: если она на окружности, угол равен половине дуги. Например, дуге 100° соответствует вписанный угол 50°, а не 100°.

Вторая ошибка — выбрать дугу, содержащую вершину вписанного угла. Это случается, когда ученик смотрит только на концы сторон и не отмечает положение вершины. Проверьте на чертеже: нужная дуга соединяет концы сторон и не проходит через вершину. Если остаются сомнения, назовите обе дуги и выясните, какая из них соответствует углу.

Третья ошибка — считать прямым любой угол с вершиной на окружности. Вершина на окружности — лишь признак вписанного угла, а не основание для вывода о его величине. Прямой угол получается только тогда, когда он опирается на диаметр, то есть его дуга равна 180°. Чтобы проверить себя, убедитесь, что концы сторон действительно являются концами одного диаметра.

Четвёртая ошибка — перепутать меньшую и большую дуги при работе с касательной и хордой. Один и тот же набор концов задаёт две дуги, а острый и тупой углы соответствуют разным дугам. Определите, какая дуга лежит внутри рассматриваемого угла, и только затем разделите её меру пополам. Если полученный угол острый, а по чертежу он должен быть тупым, значит, выбрана не та дуга.

Связь с другими темами

Для работы с углами в окружности нужны определения окружности, хорды, диаметра, касательной и центрального угла. Хорда соединяет две точки окружности, а диаметр — её хорда, проходящая через центр; касательная имеет с окружностью одну общую точку и перпендикулярна радиусу, проведённому в неё. Эти сведения помогают правильно распознавать элементы чертежа и выбирать дугу, о которой идёт речь. Соотношения углов затем используют при вычислении элементов вписанных фигур и доказательстве геометрических утверждений об окружностях.

Что запомнить

• Центральный угол равен градусной мере соответствующей дуги.
• Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.
• Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.
• Угол, опирающийся на диаметр, равен 90°.
• Угол между касательной и хордой связан с дугой так же, как вписанный угол.
• При вычислениях важно учитывать, какую именно дугу отсекают стороны угла.