"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)", Погорелов А.В.
Метрические соотношения в окружности связывают длины частей хорд, секущих и касательных. Они помогают находить неизвестные отрезки, если известны другие длины и расположение прямых. Для пересекающихся внутри окружности хорд равны произведения их частей; для секущих из внешней точки произведение внешнего отрезка на всю секущую одинаково. Касательная подчиняется тому же правилу: её длина в квадрате равна такому произведению.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Степень точки относительно окружности — величина, выражаемая через произведения отрезков, связанных с этой точкой и окружностью. Для внешней точки её можно найти как произведение внешней части секущей на всю секущую, а при наличии касательной — как квадрат её длины. Это понятие объединяет несколько соотношений и позволяет сравнивать разные прямые, проведённые из одной точки.
Пересекающиеся хорды — хорды одной окружности, имеющие общую точку внутри неё. Если хорды AB и CD пересекаются в точке P, отрезки каждой хорды — AP и PB, CP и PD. Такое обозначение помогает не перепутать пары частей, произведения которых нужно сравнить.
Секущая — прямая, пересекающая окружность в двух точках. Если она проведена из внешней точки S и пересекает окружность сначала в A, затем в B, то SA — внешний отрезок, а SB — вся секущая; внутренняя часть AB лежит внутри окружности. Различие между SA и SB важно при вычислениях: полная длина равна сумме внешней и внутренней частей.
Касательная и секущая из одной точки — две прямые, проведённые из точки вне окружности: одна касается окружности, другая пересекает её в двух точках. Касательная имеет с окружностью одну общую точку, а секущая — две. Такая пара позволяет связать длину касательной с внешним отрезком и полной длиной секущей.
Пусть хорды AB и CD пересекаются внутри окружности в P. Рассмотрим треугольники APC и DPB: углы APC и DPB равны как вертикальные, а углы PAC и PDB равны как вписанные, опирающиеся на одну дугу. Поэтому треугольники подобны, а отношения соответствующих сторон дают AP/PB = DP/PC. После перемножения крайних и средних членов получаем AP · PB = CP · PD. Значит, у каждой хорды перемножаются именно её две части, а не соседние отрезки разных хорд.
Для двух секущих из внешней точки S обозначим точки пересечения первой секущей через A и B, второй — через C и D, причём A и C ближе к S. Подобие треугольников, образованных секущими и отрезком между дальними точками, приводит к SA · SB = SC · SD. Во втором множителе стоит полная секущая, потому что расстояние от S до дальней точки включает и внешний участок, и часть внутри окружности: SB = SA + AB. Если подставить только внутренний отрезок AB, это будет уже другая величина, не соответствующая полученному отношению.
Пусть из внешней точки S проведены касательная ST и секущая, пересекающая окружность в A и B, где A ближе к S. Соотношение для касательной и секущей имеет вид ST² = SA · SB. Его можно получить как частный случай общей идеи степени точки: произведение для секущей равно квадрату касательной, поскольку оба множителя касательной одинаковы. Поэтому длину касательной нельзя подставлять один раз — в формуле она выступает в двух равных множителях.
Эти равенства описывают степень одной и той же точки относительно окружности разными способами. Для внешней точки степень равна SA · SB для любой секущей из неё, а если проведена касательная, то также равна ST². Поэтому произведения для двух секущих равны между собой, а квадрат касательной равен каждому из них. Для точки внутри окружности соответствующее соотношение записывают через части пересекающихся хорд, и их произведения тоже равны.
Выбирая формулу по условию, сначала найдите общую точку прямых и определите её положение относительно окружности. Если две хорды пересекаются внутри, обозначьте две части каждой хорды; если прямые выходят из точки снаружи, различите внешний отрезок и полную секущую. Когда одна из прямых касается окружности, используйте квадрат длины касательной. Такой разбор рисунка до вычислений помогает не смешать формулы и правильно составить уравнение.
| Расположение точки и прямых | Соотношение отрезков |
|---|---|
| Пересечение двух хорд внутри окружности: произведения отрезков одной хорды равны произведению отрезков другой | AP · PB = CP · PD |
| Две секущие из внешней точки: внешний отрезок первой секущей × вся первая секущая = внешний отрезок второй × вся вторая | SA · SB = SC · SD |
| Касательная и секущая из внешней точки: квадрат касательной = внешний отрезок секущей × вся секущая | ST² = SA · SB |
| Степень внешней точки: произведение внешнего отрезка секущей на всю секущую; для касательной равна квадрату её длины | Степень S = SA · SB = ST² |
Сначала найдите в условии описание расположения точки и прямых, затем выберите соответствующую строку. В обозначениях для секущей проверьте, что второй множитель — именно вся длина от внешней точки до дальней точки пересечения. Если неизвестна внутренняя часть, её можно получить вычитанием внешнего отрезка из полной длины.
Две хорды пересекаются внутри окружности. У одной части равны 3 см и 8 см, у другой известна часть 4 см. Требуется найти вторую часть. Общая точка находится внутри окружности, поэтому используем равенство произведений частей хорд.
Ответ: 6 см. Проверка: произведения равны, поскольку 3 · 8 = 4 · 6 = 24.
У первой секущей внешний отрезок равен 4 см, внутренняя часть — 5 см; у второй внешний отрезок равен 3 см. Нужно найти внутреннюю часть второй секущей. Так как секущие выходят из одной внешней точки, приравниваем произведения внешнего отрезка и всей секущей.
Ответ: 9 см. Внутренняя часть найдена после того, как в формуле учтена полная длина второй секущей.
Длина касательной равна 12 см, внешний отрезок секущей — 8 см. Требуется найти всю секущую и её внутреннюю часть. Поскольку проведены касательная и секущая из одной внешней точки, квадрат касательной равен произведению внешнего отрезка на всю секущую.
Ответ: вся секущая — 18 см, внутренняя часть — 10 см. Сумма частей действительно равна найденной полной длине: 8 + 10 = 18.
В формуле для секущих иногда умножают внешний отрезок на внутренний, забывая про всю длину секущей. Ошибку допускают, потому что смешивают длину части внутри окружности с расстоянием от внешней точки до дальней точки пересечения. Перед подстановкой запишите полную длину как сумму внешнего отрезка и внутренней части.
При пересечении хорд можно перемножить соседние отрезки вместо двух частей одной хорды. Это происходит, если на рисунке не обозначить принадлежность отрезков каждой хорде. Проведите мысленно или письменно пары: сначала две части первой хорды, затем две части второй, и только после этого составляйте равенство.
В соотношении для касательной иногда забывают возвести её длину в квадрат и записывают её только один раз. Причина в том, что ученик воспринимает касательную как один отрезок, не замечая равенства двух множителей. Проверка проста: в формуле должны быть две одинаковые длины касательной, то есть t · t = t².
Ещё одна ошибка — применять соотношение для хорд или секущих, не проверив положение общей точки и тип прямых. Похожие отрезки на схеме могут относиться к разным случаям, а равенства у них различаются. Отметьте, находится ли точка внутри или снаружи окружности и касается ли одна из прямых окружности; выбранная формула должна соответствовать этой ситуации.
Для работы с метрическими соотношениями нужно знать, что такое хорда, секущая и касательная, а также уметь складывать части отрезка. Особенно полезно различать расстояние до ближней точки пересечения и до дальней: первое задаёт внешний отрезок, второе — всю секущую. Без этого легко составить неверное произведение даже при правильно выбранной теореме.
Соотношения применяют в задачах на окружности, когда нужно найти неизвестную длину или проверить, согласуются ли данные. Они дают уравнение, связывающее несколько отрезков, а понятие степени точки объединяет случаи с секущими и касательной. Эти приёмы также подготавливают к более сложным задачам, где метрические отношения сочетаются с подобием треугольников.
Почему в формуле для секущей нужно брать её полную длину?
Соотношение связывает внешний отрезок секущей с расстоянием от внешней точки до дальней точки пересечения с окружностью. Это расстояние и есть вся секущая: внешний отрезок плюс внутренняя часть. Поэтому умножают внешний отрезок на сумму этих частей.
Как понять, какое соотношение применять в задаче?
Сначала выясните, где находится общая точка: внутри окружности или снаружи. Если внутри пересекаются две хорды, используйте произведения частей хорд; если снаружи проведены две секущие — произведения внешних отрезков на полные секущие. Для касательной и секущей применяйте квадрат касательной.
Можно ли использовать теорему о пересекающихся хордах, если точка пересечения находится вне окружности?
Нет. Теорема о пересекающихся хордах относится к точке пересечения внутри окружности, где каждая хорда делится на две части. Для точки вне окружности нужно применить соотношение для двух секущих либо для касательной и секущей.
Почему длина касательной возводится в квадрат?
Касательная задаёт два одинаковых множителя: её длина равна сама себе. Поэтому произведение двух соответствующих длин записывают как квадрат длины касательной, который равен произведению внешнего отрезка секущей на всю секущую.
Как найти внутреннюю часть секущей, если известны её внешний отрезок и вся длина?
Вычтите внешний отрезок из полной длины секущей. Например, если секущая равна 13 см, а внешний отрезок — 5 см, внутренняя часть равна 13 − 5 = 8 см.
88. Метрические соотношения в окружности
