"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)", Погорелов А.В.
Геометрическое место точек — это все точки, которые обладают заданным свойством, и только они. Оно помогает заменить условие задачи знакомой линией или областью, а затем найти искомые точки как пересечения полученных множеств. Для решения важно не только построить подходящие линии, но и проверить, что их точки удовлетворяют всем условиям задачи и что других решений не потеряли.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Геометрическое место точек — множество всех точек, обладающих заданным свойством, и только таких точек. Например, если требуется найти точки, равноудалённые от двух заданных точек, ответом будет не отдельная точка, а целая линия. Это понятие позволяет записать словесное условие задачи в виде знакомого геометрического объекта. Затем такой объект можно построить и использовать для поиска решений.
Серединный перпендикуляр к отрезку — геометрическое место точек, равноудалённых от его концов. Это прямая, которая проходит через середину отрезка и перпендикулярна ему. Она нужна, когда в условии сказано, что неизвестная точка находится на одинаковом расстоянии от двух заданных точек. Чтобы построить её, достаточно построить середину отрезка и провести через неё перпендикуляр.
Биссектриса угла — геометрическое место точек внутри угла, равноудалённых от его сторон. Она делит угол на две равные части, поэтому каждая её точка одинаково удалена от обеих сторон. Расстояние до стороны измеряют длиной перпендикуляра, опущенного из точки на прямую, содержащую эту сторону. Биссектриса помогает заменить условие о равных расстояниях от сторон угла одной линией.
Окружность с центром O и радиусом r — геометрическое место точек, удалённых от O на расстояние r. Здесь O — фиксированная точка, а r — заданная длина; каждая точка окружности находится от центра ровно на этом расстоянии. Поэтому окружность строят циркулем: его иглу ставят в O и раскрывают на длину r. Если расстояние должно быть не больше r, рассматривают круг, то есть окружность вместе с внутренней областью.
Чтобы установить, что найденное множество действительно является геометрическим местом точек, нужно доказать два утверждения. Сначала показывают, что любая точка на построенной линии или границе обладает требуемым свойством. Затем доказывают обратное: если точка обладает свойством, она обязательно лежит на этой линии или границе. Одно направление исключает неподходящие точки, а другое гарантирует, что решения не потеряны.
Пусть точка равноудалена от концов отрезка AB. Если опустить из неё перпендикуляр на AB, то равные расстояния до A и B означают, что основание перпендикуляра делит отрезок пополам. Значит, данная точка лежит на перпендикуляре, проходящем через середину AB. И наоборот, у каждой точки такого перпендикуляра расстояния до A и B равны: прямоугольные треугольники с общей высотой имеют равные соответствующие катеты. Поэтому серединный перпендикуляр содержит все нужные точки и не содержит лишних.
Для точки внутри угла расстояние до каждой стороны измеряют по кратчайшему пути, то есть по перпендикуляру к стороне. Если эти расстояния равны, то точка лежит на одной из биссектрис угла: прямоугольные треугольники, образованные перпендикулярами, имеют общую гипотенузу и равные катеты. При условии, что точка должна находиться именно внутри заданного угла, выбирают внутреннюю биссектрису, а не линию на продолжении или во внешней области. Обратно, из каждой точки внутренней биссектрисы перпендикуляры к сторонам равны, поскольку соответствующие прямоугольные треугольники равны.
Если расстояние от фиксированной точки O должно быть постоянным и равным r, получается окружность с центром O. Это следует из самого определения окружности: каждую её точку отделяет от центра одна и та же длина, а любая точка на этой длине попадает на окружность. Условие «расстояние не больше r» описывает уже не одну границу, а весь круг вместе с внутренностью. Различение этих случаев важно: иначе можно ошибочно включить точки, которые условию не соответствуют.
В задаче на построение каждое условие переводят в подходящее геометрическое место точек. Например, равное расстояние от двух точек задаёт серединный перпендикуляр, а заданное расстояние от точки — окружность. Искомые точки находят как пересечения полученных линий или множеств: пересечение показывает, какие точки одновременно удовлетворяют нескольким условиям. После построения нужно проверить все требования задачи, включая ограничения вроде «внутри угла», и выбрать допустимые решения.
| Условие для точки | Геометрическое место | Как построить |
|---|---|---|
| Точка равноудалена от двух заданных точек | Серединный перпендикуляр к отрезку с этими концами | Построить середину отрезка и провести через неё перпендикуляр |
| Точка внутри угла равноудалена от его сторон | Внутренняя биссектриса угла | Построить биссектрису заданного угла |
| Точка находится на заданном расстоянии от фиксированной точки | Окружность с центром в фиксированной точке | Циркулем провести окружность заданного радиуса |
| Точка находится на заданном расстоянии от прямой | Две прямые, параллельные заданной и отстоящие от неё на это расстояние | Провести перпендикуляр к прямой и отложить заданное расстояние по обе стороны |
Сначала найдите в условии ключевые слова: «равноудалена», «на расстоянии» или «внутри угла». Затем замените каждое условие соответствующей строкой таблицы и выполните построение указанным способом. Если условий несколько, ищите точки, которые принадлежат всем построенным множествам одновременно.
Нужно построить точку, равноудалённую от концов заданного отрезка AB и находящуюся на заданном расстоянии от одного его конца, например A. Первое условие задаёт серединный перпендикуляр к AB, второе — окружность с центром A. Поэтому искомая точка должна принадлежать обоим геометрическим местам. Построение пересечений показывает все возможные решения, а не только одно из них.
Постройте середину отрезка AB и проведите через неё перпендикуляр к AB. По свойству серединного перпендикуляра любая точка этой прямой равноудалена от A и B. Значит, первая часть условия уже учтена.
Циркулем с центром в A постройте окружность радиуса, равного заданному расстоянию. Точки окружности находятся от A именно на требуемом расстоянии. Найдите точки пересечения окружности и серединного перпендикуляра.
Проверьте каждую точку пересечения: она лежит на серединном перпендикуляре и окружности, поэтому выполняет оба условия. Если пересечений нет, решения нет; если их два, подходят обе точки. Число точек определяется взаимным расположением прямой и окружности.
Ответ: точки пересечения серединного перпендикуляра к AB с окружностью заданного радиуса и центром A.
Требуется построить точку внутри угла, равноудалённую от его сторон и находящуюся на заданном расстоянии от точки P. Равноудалённость от сторон задаёт внутреннюю биссектрису угла, а расстояние от P — окружность с центром P. Искомые точки должны одновременно принадлежать этой биссектрисе и окружности. Условие «внутри угла» нельзя забывать при выборе пересечений.
Постройте биссектрису заданного угла. Каждая её точка внутри угла равноудалена от сторон, поэтому эта линия учитывает первое требование. Не используйте внешнюю область угла, если задача её не допускает.
Проведите окружность с центром P и радиусом, равным заданному расстоянию. Каждая её точка удовлетворяет второму требованию. Отметьте пересечения окружности с биссектрисой.
Оставьте только те пересечения, которые действительно находятся внутри заданного угла. Каждая оставшаяся точка равноудалена от сторон и отстоит от P на заданную длину. Если пересечений во внутренней части нет, допустимых решений нет.
Ответ: точки пересечения окружности с центром P и внутренней биссектрисы, лежащие внутри угла.
Дано основание треугольника, длина боковой стороны и условие, что вершина равноудалена от концов другого заданного отрезка. Требуется определить возможные положения вершины, а затем получить треугольник. Длина боковой стороны задаёт окружность с центром в соответствующем конце основания, радиус которой равен этой длине. Равноудалённость от концов другого отрезка задаёт его серединный перпендикуляр.
Обозначьте основание CD, а искомую вершину — X; пусть задана длина боковой стороны CX. Постройте окружность с центром C и радиусом CX. Тогда любая точка окружности находится от C на нужной длине.
Постройте серединный перпендикуляр к заданному отрезку, от концов которого X должна быть равноудалена. Найдите пересечения этой прямой с окружностью. Они являются кандидатами на положение вершины, потому что удовлетворяют двум переведённым в геометрические места условиям.
Для каждой кандидатуры постройте отрезки до концов основания и проверьте остальные требования задачи. Учитывайте, что вершина не должна совпадать с точкой основания, если требуется невырожденный треугольник. Отбросьте точки, которые не выполняют дополнительных условий.
Ответ: допустимые пересечения окружности с серединным перпендикуляром после проверки остальных условий; в зависимости от расположения геометрических мест решений может быть ноль, одно или два.
Первая ошибка — доказать только, что точки построенной линии обладают нужным свойством, и забыть обратное направление. Так можно получить подходящую часть множества, но не всё геометрическое место. Чтобы проверить себя, спросите: «Может ли существовать точка с нужным свойством, которая не попала на мою линию?» Если да, обоснование неполное.
Серединный перпендикуляр иногда путают с любой прямой, проходящей через середину отрезка. Но прямая должна быть ещё и перпендикулярна отрезку: только при обоих условиях её точки равноудалены от концов. Проверьте построение угольником и убедитесь, что прямая проходит через середину. Одного из этих признаков недостаточно.
Биссектрису могут ошибочно считать подходящей для точек на продолжениях сторон или во внешних областях угла. Это особенно легко сделать, если не уточнить, о каком угле идёт речь и где должна лежать искомая точка. Сверьте полученные пересечения с формулировкой «внутри угла» и оставьте только точки в нужной области. Расстояние до стороны при этом измеряют перпендикуляром.
После пересечения построенных геометрических мест нельзя автоматически объявлять все найденные точки ответами. Могут остаться посторонние точки, не выполняющие дополнительное условие, например ограничение на область расположения. Перепроверьте каждую кандидатуру по исходной формулировке задачи. Убедитесь, что соблюдены все требования, а не только те, которые удалось заменить линиями.
Для построения геометрических мест нужны привычные действия циркулем и линейкой: провести перпендикуляр, разделить отрезок пополам, построить биссектрису и окружность. Если какое-то из этих построений пока вызывает трудности, сначала повторите его отдельно. В задачах на треугольники геометрические места помогают найти возможные положения вершин по нескольким условиям. Пересечение множеств также связано с методом анализа и синтеза: сначала выясняют, где может находиться искомая точка, затем выполняют построение и проверяют результат.
Что именно называют геометрическим местом точек?
Это множество всех точек, обладающих заданным свойством, и только таких точек. Например, все точки на расстоянии r от точки O образуют окружность с центром O и радиусом r.
Почему при определении геометрического места нужно доказывать оба направления?
Нужно убедиться, что каждая точка построенной линии обладает требуемым свойством. Но этого недостаточно: также проверяют, что любая точка с этим свойством лежит на построенной линии, иначе часть решений может быть пропущена.
Как построить множество точек, равноудалённых от концов отрезка?
Нужно построить середину отрезка и провести через неё перпендикуляр к отрезку. Эта прямая и есть серединный перпендикуляр, на котором лежат все точки, равноудалённые от концов отрезка.
Чем окружность отличается от круга как геометрического места?
Окружность состоит из точек, расстояние от которых до центра равно заданному радиусу. Круг включает также внутренние точки, то есть расстояние до центра не превышает этот радиус.
Почему после нахождения пересечений нужно проверять исходные условия?
Пересечение геометрических мест даёт точки, которые удовлетворяют переведённым в них условиям. Но при построении могли появиться лишние точки из-за ограничений, например требования находиться внутри угла, поэтому каждую кандидатуру проверяют по исходной задаче.
90. Геометрические места точек в задачах на построение
