91. Геометрические преобразования в задачах на построение

Определения и обозначения

Геометрическое преобразование — соответствие, которое каждой точке плоскости ставит в соответствие другую точку. Образом фигуры называют фигуру, составленную из образов всех её точек. В задаче преобразование помогает заменить исходную фигуру более удобной, сохранив нужные связи между элементами.

Движение — преобразование, сохраняющее расстояния между любыми двумя точками. Поэтому длины отрезков остаются прежними, а треугольники и другие фигуры не меняют размеров. Величины углов также сохраняются: стороны, образующие угол, переходят в соответствующие стороны, расположенные с тем же углом между ними.

Осевая симметрия переводит точку в точку по другую сторону заданной прямой, причём эта прямая является серединным перпендикуляром к отрезку между точкой и её образом. Значит, она пересекает этот отрезок под прямым углом и делит его пополам. Такое отражение помогает строить равные фигуры по разные стороны оси.

Параллельный перенос перемещает все точки на один и тот же вектор. Длина вектора определяет, насколько далеко сдвигается фигура, а направление — куда именно. Перенос сохраняет длины и параллельность, поэтому с его помощью удобно переносить отрезки и совмещать соответствующие вершины.

Как это устроено

Преобразование полезно, когда исходная фигура слишком сложна для прямого построения. Оно может перенести часть фигуры в место, где нужное условие легче использовать: например, сделать две стороны соседними или совместить концы равных отрезков. При этом задача не исчезает — меняется её форма, а связь между исходной и преобразованной фигурами позволяет вернуться к ответу.

Чтобы выбрать подходящее преобразование, сначала выделите в условии то, что должно сохраниться: длины, углы, параллельность или взаимное расположение элементов. Если важно равенство фигур и расстояний, подойдёт движение; если требуется отразить точку относительно прямой — осевая симметрия. Когда равные отрезки нужно перенести в другое место без поворота, удобно использовать параллельный перенос.

Искомую точку можно не строить сразу в исходном положении. Сначала находят её образ или прообраз — точку, связанную с ней преобразованием, — и переносят на неё условие задачи. Например, образ искомой вершины может лежать на уже заданной прямой или окружности, а значит, его удаётся определить пересечением построенных линий.

После решения преобразованной задачи необходимо вернуться к исходной. Для этого найденный элемент переводят обратным преобразованием: при осевой симметрии отражают ещё раз относительно той же оси, при переносе сдвигают на противоположный вектор. Затем проверяют, что исходная точка или фигура удовлетворяет всем условиям, а не только тому, которое было удобнее преобразовать.

Полное решение задачи на построение состоит из анализа, построения, доказательства и исследования. В анализе выясняют, какие элементы связаны и какое преобразование упростит условие; в построении описывают точные шаги. Доказательство объясняет, почему полученная фигура подходит, а исследование устанавливает, сколько решений возможно и при каких условиях они существуют.

Преобразования, используемые при решении задач на построение

Пользуйтесь таблицей не как списком готовых рецептов, а как способом сопоставить условие со свойствами преобразования. Сначала определите, что должно сохраниться или измениться, затем выберите подходящий вид преобразования. Проверьте, что после него искомый элемент можно построить по заданным данным.

Разбор задач

Задача 1. Построить точку, симметричную данной точке относительно заданной прямой. Пусть дана точка A и ось l. Нужно получить точку A′ так, чтобы l была серединным перпендикуляром к AA′. Поэтому сначала находим основание перпендикуляра, а затем откладываем равный отрезок по другую сторону оси.

1. Через A проведите перпендикуляр к прямой l; точку пересечения обозначьте H.
2. На продолжении AH за прямую l отметьте точку A′ так, чтобы HA′ = HA. Равные отрезки можно отложить циркулем.
3. Поскольку AH и HA′ лежат на одном перпендикуляре, а H — середина AA′, прямая l является серединным перпендикуляром к AA′.

Ответ: точка A′ — отражение точки A относительно l. Если A лежит на l, её образ совпадает с A.

Задача 2. Построить параллелограмм по двум соседним сторонам и диагонали. Данные длины образуют треугольник из двух соседних сторон и диагонали. Сначала строим этот треугольник: его вершина задаётся пересечением окружностей с центрами в концах одной стороны. Затем четвёртая вершина определяется параллельностью противоположных сторон.

1. Постройте отрезок AB, равный одной из заданных сторон.
2. Проведите окружность с центром A и радиусом второй стороны, а с центром B — окружность радиуса заданной диагонали. Их пересечение C задаёт треугольник ABC.
3. Через A проведите прямую, параллельную BC, а через C — прямую, параллельную AB. Их пересечение D — четвёртая вершина параллелограмма ABCD.

Ответ: ABCD — искомый параллелограмм: противоположные стороны попарно параллельны, а заданные стороны и диагональ равны требуемым длинам. Если окружности пересекаются в двух точках, возможны два расположения треугольника по разные стороны AB; совпадающие при симметрии решения учитывают как одно и то же с точностью до расположения.

Задача 3. Построить треугольник по основанию, высоте к нему и медиане, проведённой к основанию. Основание уже задаёт сторону треугольника. Медиана должна соединить вершину с серединой основания, поэтому искомая вершина лежит на окружности с центром в этой середине и радиусом, равным длине медианы; высота задаёт расстояние до прямой основания.

1. Постройте заданное основание AB и найдите его середину M, например, построив серединный перпендикуляр.
2. Проведите прямую, параллельную AB, на заданном расстоянии h от неё. Она задаёт все точки, высота которых к основанию равна h.
3. Постройте окружность с центром M и радиусом, равным заданной медиане. Пересечения окружности с параллельной прямой — возможные вершины C.
4. Соедините каждую найденную точку C с A и B, затем проверьте длину медианы и высоту.

Ответ: треугольники ABC, полученные при допустимых пересечениях, удовлетворяют условиям. Если пересечений нет, построение невозможно; если окружность касается прямой, получается одна вершина на этой стороне основания.

Типичные ошибки

Первая ошибка — применять преобразование, не проверив, что именно оно сохраняет. Её допускают, когда свойства одного движения переносят на любое преобразование: произвольное соответствие точек не обязано сохранять расстояния. Перед построением перечислите нужные условия и сверьте их со свойствами выбранного преобразования.

Вторая ошибка — преобразовать только одну точку и не учесть связанные с ней элементы фигуры. Тогда может потеряться важное условие о стороне, угле или взаимном положении вершин. Проверьте, какие точки и линии должны перейти в образы, и проследите связи между ними после преобразования.

Третья ошибка — перепутать прямое и обратное преобразование. Например, найденную точку принимают за искомую, хотя она является лишь её образом. Подпишите на чертеже исходную точку и её образ, а в конце явно выполните обратное преобразование, чтобы получить точку исходной задачи.

Четвёртая ошибка — ограничиться чертежом без доказательства или не проверить число решений. На рисунке фигура может казаться подходящей, хотя одно из условий не выполнено; кроме того, могут существовать другие пересечения или решений может не быть. После построения обоснуйте каждый шаг и рассмотрите все возможные пересечения, в том числе граничные случаи.

Связь с другими темами

Для работы с преобразованиями нужны свойства равенства треугольников, перпендикулярных и параллельных прямых, а также навыки построения циркулем и линейкой. Эти знания помогают обосновать, что полученные элементы действительно равны или параллельны. Преобразования позволяют упрощать сложные задачи на построение и доказывать равенство фигур. Параллельный перенос удобно описывать вектором, а координатный метод задаёт преобразования формулами для координат точек.

Что запомнить

• Преобразование переводит точки и фигуры в другие точки и фигуры.
• Движение сохраняет расстояния и углы.
• При осевой симметрии ось перпендикулярна отрезку между точкой и её образом и делит его пополам.
• Параллельный перенос сдвигает все точки на один и тот же вектор.
• Преобразование выбирают по тому, какие условия задачи оно сохраняет или упрощает.
• После построения нужно доказать выполнение условий и исследовать число решений.