92. Эллипс, гипербола, парабола

Определения и обозначения

Эллипс — множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух заданных точек постоянна. Эти точки называют фокусами и обычно обозначают F₁ и F₂; постоянную сумму записывают как 2a. Фокусы помогают определить форму и положение эллипса, а a обозначает его большую полуось.

Гипербола — множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух заданных точек постоянен. Эти точки — фокусы F₁ и F₂, а постоянную величину разности обычно обозначают 2a. Фокусы определяют положение ветвей и вместе с параметрами уравнения задают форму кривой.

Парабола — множество точек, равноудалённых от заданной точки, называемой фокусом, и заданной прямой, называемой директрисой. Расстояние до прямой измеряют по перпендикуляру к ней. Такое определение позволяет описать параболу без пары фокусов и найти её уравнение.

Каноническое уравнение — уравнение кривой в специально выбранной системе координат, где её основные элементы расположены вдоль координатных осей. Например, центр эллипса может совпадать с началом координат, а его оси — с Ox и Oy. По каноническому виду удобно находить параметры и строить график.

Как это устроено

Для эллипса сумма расстояний до фокусов остаётся неизменной, поэтому точка не может удаляться от обоих фокусов без ограничений: кривая замыкается. Если фокусы обозначены F₁ и F₂, а сумма равна 2a, то большая полуось равна a. При горизонтальной большой оси каноническое уравнение имеет вид x²/a² + y²/b² = 1, где b — малая полуось. Если расстояние от центра до фокуса равно c, то c² = a² − b²: чем дальше фокусы, тем вытянутее эллипс.

У гиперболы вместо суммы фиксируют модуль разности расстояний: именно это условие оставляет две неограниченные части кривой, расположенные по разные стороны от центра. В уравнении x²/a² − y²/b² = 1 поперечная ось направлена вдоль Ox, а её полуось равна a; сопряжённая ось перпендикулярна ей, её полуось равна b. Фокусы находятся на поперечной оси, причём c² = a² + b². Если положительный член связан с y², поперечная ось вертикальна, а ветви направлены вверх и вниз.

Чтобы получить уравнение параболы из определения, расположим вершину в начале координат, фокус в точке (p; 0), а директрису проведём перпендикулярно Ox через точку (−p; 0). Для точки (x; y) расстояние до фокуса равно √((x − p)² + y²), а до директрисы — |x + p|. Приравниваем расстояния, возводим обе части в квадрат и сокращаем одинаковые слагаемые: получаем y² = 4px. При p > 0 ветвь направлена вправо, а величина |p| влияет на её ширину.

Канонический вид зависит от того, как выбраны начало координат и направления осей. У эллипса и гиперболы начало обычно помещают в центр, а оси направляют вдоль осей симметрии; у параболы начало помещают в вершину, одну ось направляют вдоль её оси симметрии. Параметры a, b и p задают размеры кривых и положение их фокусов, а знак слагаемых в уравнении гиперболы показывает направление ветвей. Если кривую сдвинуть или повернуть, её уравнение изменится, хотя сама форма останется прежней.

Эллипс — одна замкнутая линия, тогда как гипербола состоит из двух отдельных ветвей. Ветви гиперболы всё ближе подходят к прямым y = ±(b/a)x, но не пересекают их; эти прямые называют асимптотами. Парабола имеет одну ветвь и одну ось симметрии, а её форма раскрывается в направлении этой оси. Поэтому по виду графика можно отличить все три кривые, даже если их уравнения ещё не приведены к каноническому виду.

Сравнение эллипса, гиперболы и параболы

Чтобы пользоваться таблицей, сначала определите вид кривой по знакам и расположению слагаемых в уравнении. Затем найдите соответствующие параметры и подставьте их в строку о фокусах или особых элементах. Формулы в таблице относятся к указанному каноническому положению; при вертикальной оси координаты и роли осей меняются местами.

Разбор задач

Задача 1. По уравнению x²/25 + y²/9 = 1 определить вид кривой, полуоси и координаты фокусов.

1. Сравним уравнение с каноническим видом эллипса: сумма двух дробей равна 1, значит, это эллипс с центром в начале координат.
2. Знаменатели дают квадраты полуосей: a² = 25, b² = 9. Поскольку 25 > 9, большая полуось направлена вдоль Ox, поэтому a = 5, b = 3.
3. Найдём расстояние до фокуса: c² = a² − b² = 25 − 9 = 16, значит, c = 4.
4. Фокусы лежат на Ox на расстоянии 4 от центра, поэтому их координаты (−4; 0) и (4; 0).

Ответ: эллипс, полуоси 5 и 3; фокусы (−4; 0) и (4; 0).

Задача 2. Для гиперболы x²/16 − y²/9 = 1 найти фокусы и записать уравнения асимптот.

1. Уравнение имеет канонический вид горизонтальной гиперболы. Положительное слагаемое связано с x², следовательно, поперечная ось — Ox, а a² = 16 и b² = 9.
2. Для гиперболы c² = a² + b², поэтому c² = 16 + 9 = 25 и c = 5.
3. Фокусы находятся на Ox на расстоянии 5 от начала координат: (−5; 0) и (5; 0).
4. Асимптоты горизонтальной гиперболы имеют вид y = ±(b/a)x. Подставляя a = 4 и b = 3, получаем y = ¾x и y = −¾x.

Ответ: фокусы (−5; 0) и (5; 0); асимптоты y = ¾x и y = −¾x.

Задача 3. Найти каноническое уравнение параболы с вершиной в начале координат, если её фокус имеет координаты (3; 0), а затем определить директрису.

1. Фокус лежит на положительной полуоси Ox, значит, ось параболы горизонтальна и ветвь направлена вправо.
2. Сравниваем координаты фокуса с видом (p; 0): получаем p = 3.
3. Подставляем p в уравнение y² = 4px: y² = 4 · 3x = 12x.
4. Директриса расположена на таком же расстоянии от вершины, как фокус, но с противоположной стороны. Её уравнение x = −p, то есть x = −3.

Ответ: y² = 12x; директриса x = −3.

Типичные ошибки

Не путайте постоянную сумму расстояний у эллипса с постоянным модулем разности у гиперболы. Их определения похожи, поэтому легко перенести слово «сумма» из одного случая в другой. Проверка: у эллипса в каноническом уравнении два положительных слагаемых, а у гиперболы между ними стоит минус.

Неверно определять оси по одним только знаменателям. У эллипса большая полуось соответствует большему знаменателю, а у гиперболы поперечная ось задаётся переменной при положительном слагаемом. Сверяйте и величины знаменателей, и знаки членов уравнения, прежде чем записывать координаты фокусов.

Не переносите одну формулу связи параметров на обе кривые: для эллипса c² = a² − b², для гиперболы c² = a² + b². Ошибку часто вызывают похожие обозначения a, b и c. Проверьте себя по уравнению: сумма двух положительных дробей соответствует эллипсу, разность — гиперболе.

Парабола не имеет двух фокусов и не обязана быть симметричной сразу относительно Ox и Oy. Её фокус один, а ось симметрии проходит через фокус и вершину; в уравнении y² = 4px это ось Ox. Для проверки найдите, какая переменная возведена в квадрат: она задаёт направление, перпендикулярное оси раскрытия.

Связь с другими темами

Для изучения этих кривых нужны координатная плоскость, формула расстояния между точками, работа с квадратами и преобразование уравнений. Эти навыки помогают перейти от геометрического определения к канонической записи и исследовать график. Эллипс, гипербола и парабола относятся к коническим сечениям: они связывают геометрию с графиками квадратичных уравнений. Такие кривые применяются также при изучении аналитической геометрии и траекторий.

Что запомнить

• Эллипс задаётся постоянной суммой расстояний до двух фокусов.
• Гипербола задаётся постоянным модулем разности расстояний до двух фокусов.
• Парабола состоит из точек, равноудалённых от фокуса и директрисы.
• Каноническое уравнение зависит от расположения осей и выбранного направления кривой.
• У эллипса одна замкнутая линия, у гиперболы две ветви, у параболы одна ветвь.
• У гиперболы есть асимптоты, к которым приближаются её ветви.