26.1. Правильные фигуры

Определения и обозначения

Правильный многоугольник — выпуклый многоугольник, у которого все стороны и все углы равны. Иными словами, нельзя ограничиться проверкой только одной группы элементов: должны совпадать и длины сторон, и величины углов. Это определение позволяет отличать правильные многоугольники, например квадрат, от фигур с равными сторонами, но разными углами.

Правильный многогранник — выпуклый многогранник, грани которого являются равными правильными многоугольниками и в каждой вершине сходится одинаковое число граней. Грань — плоская часть поверхности, ребро — сторона грани, а вершина — место соединения рёбер. Определение нужно, чтобы проверять правильность не только по виду отдельных граней, но и по тому, как они соединяются.

Центр правильного многоугольника — точка, равноудалённая от всех его вершин; она является центром описанной окружности. Радиусы, проведённые к вершинам, имеют одинаковую длину, поэтому центр удобно использовать для построений и вычисления углов. Если сторон n, то центральный угол между соседними вершинами равен 360°/n.

Платоновы тела — пять выпуклых правильных многогранников: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. Они различаются формой граней и устройством вершин, но каждый отвечает определению правильного многогранника. Этот список важен как полный перечень таких тел в выпуклом случае.

Как это устроено

Равенство сторон и углов приводит к симметрии, потому что одинаковые части фигуры можно переставлять без изменения её формы. Если повернуть правильный многоугольник вокруг центра на 360°/n, каждая вершина перейдёт на место соседней, а стороны совпадут с другими сторонами фигуры. После n таких поворотов получится полный оборот. Именно поэтому правильные многоугольники выглядят одинаково при поворотах на равные доли круга.

Центр равноудалён от вершин не случайно: правильный многоугольник можно разбить на равные части, соединяя центр с соседними вершинами. У каждой получившейся части две стороны являются радиусами, а третья — стороной многоугольника, поэтому треугольники равнобедренные. Благодаря равенству сторон и углов многоугольника эти треугольники оказываются равными. Так вершины располагаются на одной окружности, а соединение центра со всеми вершинами даёт одинаковые сектора.

Полный оборот вокруг центра составляет 360°, и в правильном n-угольнике он делится поровну между n соседними парами вершин. Поэтому центральный угол равен 360°/n. Внутренний угол — это угол внутри многоугольника у его вершины, а не угол при центре. Диагонали из одной вершины разбивают n-угольник на n−2 треугольника, значит, сумма внутренних углов равна 180°(n−2), а каждый угол правильного многоугольника — 180°(n−2)/n.

У многогранника плоские углы граней сходятся вокруг каждой вершины. Чтобы поверхность в этой точке загибалась и образовывала выпуклый угол, сумма этих углов должна быть меньше полного оборота, то есть меньше 360°. Если сумма ровно 360°, грани могут лежать в одной плоскости; если она больше, они не смогут составить выпуклую вершину. Поэтому число и форма граней ограничены уже на уровне одной вершины.

Правильность требует одновременно одинаковых граней и одинакового устройства всех вершин. Равные правильные многоугольники сами по себе ещё не гарантируют, что они собраны в правильный многогранник: в разных вершинах может сходиться разное число граней. Условие о сумме углов исключает невозможные соединения, а требование одинакового числа граней при вершинах сохраняет единое устройство тела. Совместное действие этих условий даёт ровно пять выпуклых вариантов — Платоновых тел.

Сопоставление правильного многоугольника и правильного многогранника

Сначала определите, рассматриваете ли вы плоскую фигуру или пространственное тело: от этого зависит, какие элементы нужно проверять. Затем сверьте условия равенства и устройство у вершин, а примеры используйте для самопроверки. Таблица помогает не смешивать свойства многоугольника с условиями правильности многогранника.

Разбор задач

Задача 1. Определите, является ли четырёхугольник с четырьмя равными сторонами правильным, если один из его углов не прямой. Здесь дано равенство сторон, но не сообщается равенство углов. Проверим оба условия определения, не делая вывод только по длинам сторон.

1. Для правильного четырёхугольника должны быть равны все стороны и все углы.
2. Если бы все углы четырёхугольника были равны, их сумма 360° делилась бы на четыре равных угла по 90°.
3. По условию один угол не прямой, значит, углы не могут быть все одинаковыми. Равенства сторон недостаточно, чтобы фигура была правильной.

Ответ: нет, такой четырёхугольник не является правильным.

Задача 2. Найдите центральный и внутренний углы правильного восьмиугольника. Сначала определим, на сколько равных частей разбивается полный оборот, а затем найдём внутренний угол по сумме углов многоугольника. Это позволяет не путать угол при центре с углом внутри фигуры.

1. У восьмиугольника n = 8, поэтому центральный угол между соседними вершинами равен 360°/8 = 45°.
2. Сумма внутренних углов равна 180°(8−2) = 1080°.
3. Все восемь внутренних углов равны, поэтому каждый составляет 1080°/8 = 135°. Проверка: центральный угол и внутренний угол в соответствующей равнобедренной треугольной части не являются одним и тем же углом.

Ответ: центральный угол равен 45°, внутренний — 135°.

Задача 3. Обоснуйте, почему не существует выпуклого правильного многогранника, в каждой вершине которого сходятся шесть равносторонних треугольников. Для этого достаточно проверить, могут ли шесть граней образовать выпуклый угол вокруг одной вершины. У равностороннего треугольника каждый плоский угол равен 60°.

1. В одной вершине сходятся шесть граней, значит, сумма их плоских углов равна 6 · 60°.
2. Получаем 360°. Чтобы вершина была выпуклой, сумма углов должна быть строго меньше 360°.
3. Условие выпуклости не выполняется: при сумме 360° грани не образуют загибающуюся выпуклую вершину.

Ответ: такого выпуклого правильного многогранника не существует.

Типичные ошибки

Первая ошибка — считать любой четырёхугольник с равными сторонами правильным. Так рассуждают, потому что стороны выглядят главным признаком формы, но углы тоже входят в определение: у ромба они могут быть неодинаковыми. Проверьте себя вопросом, равны ли все углы; если нет, фигура не правильная.

Вторая ошибка — путать центральный угол с внутренним. Центральный угол расположен при центре окружности и опирается на сторону правильного многоугольника, поэтому равен 360°/n; внутренний находится у вершины и вычисляется через сумму внутренних углов. Перед вычислением отметьте, где именно расположен искомый угол.

Третья ошибка — считать достаточным, что все грани многогранника одинаковы и правильны. В разных вершинах может сходиться разное число граней, поэтому проверьте устройство каждой вершины, а не только вид граней. Для правильного многогранника число граней у всех вершин должно совпадать.

Четвёртая ошибка — допускать при вершине сумму углов граней, равную или превышающую 360°. Равенство не даёт выпуклого загиба, а сумма больше полного оборота тем более не может его образовать. Сложите плоские углы и сравните результат со 360°: для выпуклой вершины он должен быть строго меньше.

Связь с другими темами

Для работы с правильными многоугольниками понадобятся свойства многоугольников, окружности и центральных углов: они помогают находить суммы и отдельные углы. При изучении многогранников важно знать, что такое грани, рёбра, вершины и выпуклость, иначе трудно проверить устройство тела. Правильные фигуры встречаются в задачах о симметриях, площадях и объёмах многогранников, а также при построении и исследовании сечений.

Что запомнить

• У правильного многоугольника равны все стороны и все углы.
• Сумма внутренних углов n-угольника равна 180°(n−2).
• Центральный угол правильного n-угольника равен 360°/n.
• У правильного многогранника все грани — равные правильные многоугольники.
• В каждой вершине правильного многогранника сходится одинаковое число граней.
• Выпуклых правильных многогранников существует ровно пять.