§ 26. Правильные и полуправильные многогранники

Определения и обозначения

Правильный многогранник — выпуклый многогранник, все грани которого являются равными правильными многоугольниками, а число и порядок граней около каждой вершины одинаковы. Правильный многоугольник имеет равные стороны и углы, а равенство граней означает, что они совпадают при наложении. Условие о вершинах дополняет требование к граням: оно исключает тела с неодинаковым устройством угловых частей.

Полуправильный многогранник — выпуклое тело, грани которого являются правильными многоугольниками нескольких видов, причём у всех вершин одинаково расположены одинаковые наборы граней. Например, в таком наборе могут чередоваться треугольники и квадраты. Это определение позволяет описывать тела, которые сохраняют регулярность устройства, хотя все их грани не одинаковы.

Платоновыми телами называют пять видов правильных многогранников: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. У каждого из них есть своё сочетание формы граней и числа граней при вершине. Название помогает сразу выделить полный список тел, удовлетворяющих условиям правильности.

Архимедовы тела — принятый в геометрии класс из 13 выпуклых полуправильных многогранников. Их различают по набору правильных многоугольников и по порядку, в котором эти грани сходятся у вершины. Эта классификация нужна, чтобы не смешивать полуправильные тела с другими многогранниками, у которых просто встречаются разные правильные грани.

Как это устроено

Одних правильных граней недостаточно для правильности всего тела. Если около одной вершины сходятся три грани, а около другой — четыре, эти части многогранника устроены по-разному, даже если сами грани одинаковы. Поэтому в определение включают одинаковое число граней и одинаковый порядок их расположения при каждой вершине. Так условие относится не только к отдельным многоугольникам, но и к форме многогранника в целом.

Чтобы плоские многоугольники образовали выпуклый угол в пространстве, их углы при вершине должны оставить место для изгиба. Если сумма равна 360°, грани расправляются в плоскость; если она больше 360°, они не могут окружить вершину выпуклого тела. Поэтому сумма должна быть строго меньше 360°. Это необходимое условие локального устройства вершины, но для существования всего многогранника могут потребоваться и другие проверки.

При одинаковых гранях возможностей мало. В вершине должно сходиться хотя бы три многоугольника, а внутренний угол правильного n-угольника равен 180° · (n − 2) / n. Например, три треугольных угла дают 180°, но шесть уже дают 360° и не могут образовать вершину выпуклого тела. Перебор допустимых чисел сторон и количества граней, а затем проверка замыкания тела приводят ровно к пяти правильным многогранникам.

Если разрешить грани разных видов, вариантов становится больше. Например, у полуправильного тела могут сходиться треугольники и квадраты, но такой набор должен повторяться в одном и том же порядке у каждой вершины. Именно это постоянство отличает полуправильный многогранник от произвольного тела с разными гранями. Классификация по наборам граней и их порядку позволяет систематически описывать архимедовы тела.

Для описания многогранника указывают форму граней, сколько граней сходится при вершине и в каком порядке они расположены. Затем можно подсчитать вершины, рёбра и грани: каждое ребро принадлежит двум граням, а для выпуклого многогранника выполняется формула Эйлера V − E + F = 2. Здесь V — число вершин, E — число рёбер, F — число граней. Сочетание этих признаков помогает и определить тип тела, и проверить вычисления.

Правильные многогранники

В таблице собраны пять правильных многогранников. В столбце о гранях указана форма каждой грани, а число граней при вершине показывает, сколько одинаковых многоугольников сходится в каждой вершине. Сопоставляйте эти сведения с числами вершин, рёбер и граней: для каждого тела они согласуются с формулой Эйлера.

Разбор задач

Задача 1. Определить, может ли многогранник с правильными треугольными гранями и четырьмя гранями при каждой вершине быть правильным. Сначала проверим локальное условие, а затем сравним предполагаемое сочетание с классификацией правильных многогранников.

1. Угол правильного треугольника равен 60°.
2. При вершине сходятся четыре таких угла, поэтому их сумма равна 4 · 60° = 240°.
3. Поскольку 240° меньше 360°, вершина может быть выпуклой. Но этого недостаточно для правильности всего многогранника: среди пяти правильных тел сочетанию четырёх треугольных граней у вершины соответствует октаэдр, а не новое тело.

Ответ: такого правильного многогранника нет. Сумма углов проходит необходимую проверку, но проверка полного замыкания и классификация исключают это сочетание.

Задача 2. Проверить, возможно ли сходжение двух правильных треугольников и двух квадратов у одной выпуклой вершины. Надо определить, не превышает ли их общий угол полный оборот, но также помнить, что такой расчёт проверяет только вершину.

1. У каждого правильного треугольника угол равен 60°, у квадрата — 90°.
2. Складываем углы: 2 · 60° + 2 · 90° = 300°.
3. Получили число меньше 360°, значит, локального углового препятствия нет. По одной этой проверке нельзя заключить, что существует любой заданный многогранник с таким устройством; нужно проверить одинаковость вершин и замыкание тела.

Ответ: такое сочетание допустимо в вершине выпуклого тела, поскольку сумма равна 300°. Для вывода о существовании конкретного многогранника нужны дополнительные сведения.

Задача 3. У многогранника шесть квадратных граней, и в каждой вершине сходятся три грани. Найти его тип, число вершин и рёбер. Число граней и их форма указывают на куб, а вычисления позволяют проверить ответ независимо.

1. У всех граней четыре стороны, поэтому сумма числа сторон граней равна 4 · 6 = 24. Каждое ребро посчитано дважды, следовательно, E = 24 / 2 = 12.
2. По формуле Эйлера V − E + F = 2 получаем V − 12 + 6 = 2, откуда V = 8.
3. Квадратные грани и три грани при каждой вершине соответствуют кубу. Проверяем результат: 8 − 12 + 6 = 2.

Ответ: это куб, у него 8 вершин, 12 рёбер и 6 граней.

Типичные ошибки

Считать многогранник правильным только потому, что все его грани — правильные многоугольники, — значит проверять лишь отдельные части тела. Ошибка возникает, когда забывают о вершинах и их окружении. Проверьте, одинаково ли число и расположение граней при каждой вершине; если нет, определение правильного многогранника не выполнено.

Правильные и полуправильные многогранники различаются не тем, что у одних грани правильные, а у других нет: у обоих классов грани правильные. Путаница появляется из-за слова «полуправильный». Сверьте виды граней: у правильного тела они равны и одного вида, у полуправильного могут различаться, но набор у вершин одинаков.

При проверке вершины иногда допускают сумму углов, равную 360°. Такое значение означает плоский полный оборот, а не выпуклый угол многогранника; равенство условию не подходит. Сложите именно углы многоугольников при одной вершине и убедитесь, что результат строго меньше 360°.

В подсчётах путают вершины, рёбра и грани, особенно когда применяют формулу Эйлера. Чтобы проверить себя, обозначьте их отдельно как V, E и F, а при подсчёте рёбер по граням разделите общее число сторон на два: каждое ребро входит в две грани. Для выпуклого тела дополнительно проверьте равенство V − E + F = 2.

Связь с другими темами

Для изучения темы нужны свойства правильных многоугольников: прежде всего их внутренние углы и число сторон. Также пригодятся знания о выпуклых многогранниках и о том, как грани сходятся у вершины. Подсчёт элементов опирается на соотношение Эйлера и учёт того, что каждое ребро принадлежит двум граням.

Классификация тел помогает узнавать симметричные фигуры и понимать устройство их развёрток. Те же сведения используют при нахождении площадей поверхностей и объёмов: сначала определяют форму и число граней, затем выбирают подходящие геометрические формулы. Поэтому эта тема связывает свойства плоских фигур с геометрией тел.

Что запомнить

• У правильного многогранника все грани — равные правильные многоугольники.
• У каждой вершины правильного многогранника сходится одинаковое число граней.
• Сумма углов граней при вершине выпуклого многогранника меньше 360°.
• Существует пять видов правильных многогранников.
• У полуправильного многогранника грани — правильные многоугольники, а устройство около вершин одинаково.
• Для выпуклого многогранника число вершин минус число рёбер плюс число граней равно двум.