§ 27. Определение площади и объема

Определения и обозначения

Площадь — численная характеристика плоской фигуры: она неотрицательна, одинакова у равных фигур и складывается при разбиении на части. Площадь обозначают обычно буквой S. Такое определение нужно, чтобы измерять не длину границы, а размер области, которую занимает фигура.

Единица площади — площадь выбранного единичного квадрата; площадь фигуры выражают числом таких единиц. Например, квадрат со стороной 1 см задаёт единицу 1 см². Выбор квадрата позволяет сравнивать площади, даже если фигуры имеют разную форму.

Объём — численная характеристика пространственного тела: он неотрицателен, одинаков у равных тел и складывается при разбиении тела на части. Объём часто обозначают V. Эта мера показывает, сколько пространства занимает тело и помогает сопоставлять вместимость разных объектов.

Единица объёма — объём выбранного единичного куба; объём тела выражают числом таких единиц. Куб с ребром 1 см имеет объём 1 см³. Такая единица позволяет измерять тела подсчётом одинаковых кубиков, уложенных без промежутков.

Как это устроено

Неотрицательность нужна потому, что площадь и объём описывают величину занимаемой области, а её размер не может быть меньше нуля. Сохранение меры у равных фигур и тел следует из того, что равные объекты совпадают при наложении и занимают одинаковую область. Аддитивность добавляет третье необходимое требование: если область разбита на части без перекрытий, мера целого должна равняться сумме мер частей. Без этих правил результаты измерения зависели бы от способа разбиения или формы записи.

Единичный квадрат и единичный куб служат эталонами для подсчёта. Если выбрать квадрат со стороной 1 см, площадь запишется в квадратных сантиметрах; если выбрать квадрат со стороной 1 м — в квадратных метрах. Число изменится, потому что изменился размер единицы, но сама фигура останется прежней. Аналогично для объёма: куб с ребром 1 м больше куба с ребром 1 см, поэтому одно и то же тело выражается разным числом единиц.

Рассмотрим прямоугольник со сторонами a и b, а единицей площади возьмём квадрат со стороной 1. Вдоль одной стороны помещается a единичных отрезков, вдоль другой — b, если длины выражены в этих единицах. Получается a рядов по b квадратов, то есть ab единичных квадратов. Поэтому площадь прямоугольника равна S = ab; произведение длин измерений даёт число квадратных единиц.

Для прямоугольного параллелепипеда сначала считаем кубики в одном слое. Если измерения основания равны a и b, в слое помещается ab единичных кубов. По третьему измерению c таких слоёв, поэтому общее число кубиков равно ab · c. Отсюда объём V = abc, если все три измерения выражены в единицах ребра выбранного куба.

Аддитивность позволяет разрезать сложную фигуру на простые части, найти меру каждой и сложить результаты. То же правило действует для тела, если части не перекрываются внутренними точками. Разные разбиения одного объекта должны давать одинаковую сумму: это помогает выбирать удобный способ вычисления и проверять его. Если части перекрываются, общую область нельзя учитывать дважды.

Определение и основные формулы площади и объёма

Сначала определите, измеряется плоская фигура или пространственное тело: от этого зависит и величина, и тип единицы. Затем проверьте, что размеры подставлены в согласованных единицах. Формулы в последнем столбце относятся к прямоугольнику и прямоугольному параллелепипеду.

Разбор задач

Площадь прямоугольника

Найдём площадь прямоугольника со сторонами 4 см и 7 см. Формула S = ab возникает из подсчёта единичных квадратов: на одной стороне помещается 4 отрезка длиной 1 см, на другой — 7. Значит, можно посчитать квадраты рядами, а не измерять фигуру на глаз.

1. Записываем формулу: S = ab.
2. Подставляем длины: S = 4 · 7 = 28.
3. Указываем квадратные сантиметры, поскольку считаем квадраты со стороной 1 см.

Ответ: 28 см².

Площадь частей

Прямоугольник разбит на две части площадями 18 см² и 25 см². Поскольку части составляют весь прямоугольник и не перекрываются, применяем аддитивность. Складываем меры частей, а не их стороны: каждая площадь уже выражена в одинаковых единицах.

1. Проверяем, что части покрывают весь прямоугольник без перекрытия внутренних областей.
2. Складываем площади: 18 + 25 = 43 см².

Ответ: площадь прямоугольника равна 43 см².

Объём составного тела и сравнение

Параллелепипед составлен из двух неперекрывающихся частей объёмами 36 см³ и 54 см³. Сначала найдём объём целого тела, затем выясним, сколько таких тел можно поместить в коробку объёмом 450 см³. Во второй части задачи важно сравнить величины в одинаковых единицах.

1. По аддитивности объём целого равен сумме объёмов частей: 36 + 54 = 90 см³.
2. Делим объём коробки на объём одного тела: 450 : 90 = 5.
3. Проверяем, что обе величины выражены в см³, и что деление даёт целое число.

Ответ: объём целого тела — 90 см³; в коробку поместятся 5 таких тел.

Типичные ошибки

Площадь и объём иногда принимают за сами геометрические объекты. Но прямоугольник — фигура, а его площадь — число с единицей измерения; параллелепипед — тело, а его объём — мера тела. Проверяйте себя вопросом: называю ли я объект или численную характеристику?

Запись площади в сантиметрах, а объёма в квадратных сантиметрах неверна: единицы не соответствуют размерности величины. Площадь получают подсчётом квадратов, объём — кубов, поэтому нужны см² и см³ соответственно. Проверка проста: представьте, какие единичные элементы вы считали.

Складывать меры перекрывающихся частей без поправки нельзя: общая область попадёт в сумму дважды. Эту ошибку допускают, когда считают, что любых двух частей достаточно для применения аддитивности. Перед сложением проверьте, что их внутренние области не пересекаются и вместе покрывают целое.

Нельзя непосредственно складывать или сравнивать значения в разных единицах, например 2 м² и 30 см². Сначала переведите оба значения в одну единицу, учитывая, что при переходе к квадратным или кубическим единицам коэффициент тоже возводится в степень. После перевода убедитесь, что единицы в выражении совпадают.

Связь с другими темами

Для работы с площадью и объёмом нужны единицы длины, площади и объёма, правила их перевода, а также понятие равных фигур и тел. Равенство объектов объясняет, почему их меры совпадают, а перевод единиц позволяет корректно сравнивать результаты. Формулы S = ab и V = abc основаны на умножении длин измерений и подсчёте единичных квадратов или кубов. Эти идеи становятся опорой при изучении площадей поверхностей и объёмов других фигур и тел.

Что запомнить

• Площадь характеризует плоскую фигуру, объём — пространственное тело.
• Площадь и объём неотрицательны.
• У равных фигур площади равны, у равных тел равны объёмы.
• При разбиении без перекрытий площадь или объём целого равны сумме мер частей.
• Площадь прямоугольника со сторонами a и b равна ab.
• Объём прямоугольного параллелепипеда с измерениями a, b и c равен abc.