"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (углублённый уровень)", Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И.
Цилиндр, конус и шар — тела, которые часто встречаются в задачах о вращении и в описании реальных предметов. Чтобы решать такие задачи, нужно узнавать элементы тела на чертеже, связывать их с помощью осевых сечений и теоремы Пифагора, а затем выбирать формулу площади или объёма. Отдельная трудность — составные тела: их разбивают на простые части и учитывают, какие области входят в итоговую фигуру.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Цилиндр — тело с двумя равными круглыми основаниями, расположенными в параллельных плоскостях, и боковой поверхностью. Прямая, проходящая через центры оснований, называется осью, а расстояние между основаниями — высотой h. Отрезок боковой поверхности между основаниями — образующая; у прямого цилиндра она равна высоте. Эти обозначения помогают читать чертёж и выбирать нужные размеры для формул.
Конус — тело с круглым основанием и одной вершиной вне его плоскости. Ось соединяет вершину с центром основания, высота h перпендикулярна основанию, а образующая l соединяет вершину с точкой окружности основания. Радиус основания обозначают r. Различение высоты и образующей нужно, потому что они отвечают за разные измерения и по-разному входят в формулы.
Сфера — поверхность, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии r от центра. Шар — тело, ограниченное этой сферой, включая внутренние точки. Радиус соединяет центр с точкой сферы, а диаметр проходит через центр и равен 2r. Сфера описывает только оболочку, тогда как шар нужен, когда рассматривают объём тела.
Тело вращения получается, когда плоскую фигуру поворачивают вокруг прямой, лежащей в её плоскости. Эта прямая называется осью вращения, а точки фигуры при движении описывают окружности или круги. Так возникают цилиндр и конус, а понимание способа образования помогает восстановить их элементы по исходной фигуре.
Если прямоугольник вращать вокруг одной из его сторон, эта сторона остаётся на месте и становится осью цилиндра. Противоположная сторона описывает окружность, поэтому её длина задаёт радиус основания, а длина стороны-оси становится высотой. Если вращать прямоугольный треугольник вокруг катета, катет задаёт ось и высоту конуса, другой катет описывает круг основания, а гипотенуза образует боковую поверхность. Поэтому радиус, высота и образующая соответствуют сторонам исходного треугольника.
Осевое сечение получают плоскостью, проходящей через ось тела. У цилиндра эта плоскость пересекает основания по их диаметрам, а боковую поверхность — по двум образующим; в результате выходит прямоугольник со сторонами h и 2r. У конуса сечение содержит ось, вершину и диаметр основания. Его боковые стороны — равные образующие, поэтому получается равнобедренный треугольник. Половина такого сечения — прямоугольный треугольник с катетами h и r.
На чертеже сначала отметьте центры оснований, ось и высоту, затем определите радиус и образующую. У цилиндра диаметр равен 2r, а у конуса высота, радиус и образующая связаны теоремой Пифагора: l² = h² + r². Например, если известны h и r, образующую находят как l = √(h² + r²). Эта связь позволяет восстановить недостающий размер и не подменять наклонный отрезок высотой.
Формулу выбирают по тому, что требуется найти: для поверхности — формулу площади, для вместимости или количества вещества — формулу объёма. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 2πrh, конуса — πrl, а полная площадь дополнительно включает основания. Объёмы равны πr²h для цилиндра и ⅓πr²h для конуса; объём шара равен ⁴⁄₃πr³, площадь сферы — 4πr². Перед подстановкой проверьте, что длины выражены в одинаковых единицах.
В составной фигуре сначала выделяют простые тела и записывают, какие размеры у них общие. Объёмы соединённых частей складывают, а объём отверстия или выреза вычитают; для поверхности учитывают только открытые наружу участки. Если величины связаны условием, составляют уравнение по объёму или площади, решают его и проверяют, что радиусы и высоты положительны и согласуются с исходным отношением.
| Характеристика | Цилиндр | Конус | Шар |
|---|---|---|---|
| Основные элементы | Два основания радиуса r, ось, высота h, образующая | Основание радиуса r, вершина, ось, высота h, образующая l | Центр и радиус r; сфера — граница шара |
| Площадь боковой поверхности | Sбок = 2πrh | Sбок = πrl | Не выделяется как боковая поверхность |
| Площадь полной поверхности | Sполн = 2πrh + 2πr² | Sполн = πrl + πr² | S = 4πr² |
| Объём | V = πr²h | V = ⅓πr²h | V = ⁴⁄₃πr³ |
| Связь элементов в осевом сечении | Прямоугольник со сторонами h и 2r | Равнобедренный треугольник; l² = h² + r² | Центральное сечение — круг радиуса r |
Сначала найдите в таблице тип тела и нужную характеристику, затем подставьте данные в соответствующую формулу. Для полной площади добавляйте основания, а в формуле конуса используйте образующую l, не высоту h. Формулы сферы относятся к её поверхности, а объём шара — к телу внутри неё.
Задача 1. В осевом сечении цилиндра диагональ прямоугольника равна d, а высота — h. Найдите радиус основания и полную площадь поверхности. Обозначим радиус через r: стороны осевого прямоугольника равны h и 2r. Диагональ, две стороны и искомый радиус связаны теоремой Пифагора.
Ответ: r = ½√(d² − h²), Sполн = π√(d² − h²)(h + ½√(d² − h²)). Корень определён при d > h, что согласуется с тем, что диагональ прямоугольника длиннее его стороны.
Задача 2. Высота конуса равна h, радиус основания — r. Найдите образующую, площадь боковой поверхности и объём. В осевом сечении половина конуса образует прямоугольный треугольник, поэтому сначала найдём наклонную сторону, а затем используем формулы конуса.
Ответ: l = √(h² + r²), Sбок = πr√(h² + r²), V = ⅓πr²h. Сначала нашли образующую, потому что именно она входит в формулу боковой площади, а не в формулу объёма.
Задача 3. Объёмы конуса и шара равны, радиус основания конуса и радиус шара связаны отношением rк = 2rш, высота конуса равна h. Найдите радиус шара. Обозначим его x; тогда радиус конуса равен 2x. Равенство объёмов даст уравнение относительно x.
Ответ: радиус шара равен h, радиус основания конуса равен 2h. Результат допустим при h > 0; именно это условие требуется для существования конуса и шара ненулевого размера.
Путают радиус основания с диаметром, особенно когда на осевом сечении подписана ширина прямоугольника. Радиус — половина диаметра, поэтому подстановка всей ширины вместо r увеличивает квадрат радиуса в четыре раза. Перед вычислениями отметьте, что именно дано, и проверьте: диаметр равен 2r.
В формулу боковой поверхности конуса подставляют высоту вместо образующей. Так бывает, потому что высота и образующая обе выходят из вершины, но первая перпендикулярна основанию, а вторая наклонена к нему. Проверьте чертёж и при необходимости найдите l по равенству l² = h² + r².
Смешивают боковую и полную площади, забывая основание или оба основания. Причина часто в том, что запоминают формулу боковой части и считают её формулой всей поверхности. Сверьте, что спрашивается в условии, и отдельно перечислите поверхности, которые должны учитываться: у цилиндра два основания, у конуса одно.
При сложении объёмов составного тела иногда включают вырезанную часть или дважды считают общую область. Это происходит, если фигуру не разбили на части до записи формулы. Нарисуйте схему частей и отметьте вырезы: объём вычитают, а объёмы неперекрывающихся частей складывают; для площади не учитывают скрытые стыки.
Для решения задач о телах вращения нужно уверенно находить элементы на чертеже, как и при работе с многогранниками. Теорема Пифагора связывает радиус, высоту и образующую, а подобие треугольников помогает находить неизвестные размеры в сечениях. В формулах важно учитывать степени величин: площадь измеряется в квадратных единицах, объём — в кубических. Эти приёмы пригодятся при расчётах составных тел и оценке размеров реальных предметов.
Как понять по условию задачи, какое тело вращения рассматривается?
Ориентируйтесь на описание формы и способа получения тела. Прямоугольник, вращающийся вокруг стороны, образует цилиндр, а прямоугольный треугольник при вращении вокруг катета — конус. Если речь идёт о всех точках на одинаковом расстоянии от центра, имеется в виду сфера или шар.
Чем образующая конуса отличается от его высоты?
Высота соединяет вершину конуса с центром основания и перпендикулярна плоскости основания. Образующая идёт от вершины к точке окружности основания по боковой поверхности. В осевом сечении они вместе с радиусом образуют прямоугольный треугольник.
Когда в задаче нужно находить площадь боковой поверхности, а когда — полной?
Площадь боковой поверхности нужна, если требуется измерить только оболочку без основания или оснований. Полная площадь включает боковую поверхность и все основания тела. Проверяйте формулировку задачи и то, какие поверхности входят в рассматриваемый предмет.
Как восстановить радиус цилиндра или конуса по осевому сечению?
Для цилиндра осевое сечение — прямоугольник со сторонами высотой h и диаметром 2r; примените теорему Пифагора к его диагонали и сторонам. Для конуса осевое сечение — равнобедренный треугольник, а его половина даёт прямоугольный треугольник с катетами h и r. Если известна образующая l, используйте l² = h² + r².
Как решать задачи, в которых тело составлено из нескольких частей?
Разделите тело на цилиндры, конусы, шары или другие знакомые части и подпишите общие размеры. Сложите объёмы частей, которые входят в тело, и вычтите объёмы вырезанных областей. Для площади учитывайте только внешнюю поверхность, не включая скрытые соприкасающиеся части.
З Задачи к главе V
