28.2. Доказательство теоремы об объеме прямого цилиндра

Определения и обозначения

Прямой цилиндр — тело, ограниченное боковой цилиндрической поверхностью и двумя равными параллельными основаниями. Его образующие перпендикулярны плоскостям оснований, поэтому цилиндр называют прямым. Это свойство позволяет считать расстояние между основаниями его высотой.

Основание прямого цилиндра — круг, лежащий в одной из двух параллельных плоскостей. Площадь основания обозначают буквой S. Именно эта площадь входит в формулу объёма, а не площадь боковой поверхности.

Высота цилиндра — расстояние между плоскостями его оснований. В прямом цилиндре она равна длине образующей, поскольку образующая перпендикулярна основаниям. Высоту обозначают буквой h.

Объём прямого цилиндра — величина, характеризующая часть пространства, занимаемую телом. Объём обозначают буквой V и измеряют в кубических единицах. Знание S и h позволяет вычислить V.

Как это устроено

Теорема утверждает: объём прямого цилиндра равен произведению площади основания на высоту, то есть V = Sh. Такая запись естественна: если основание имеет большую площадь, тело занимает больше места, а при увеличении высоты увеличивается его протяжённость. Поэтому обе величины должны участвовать в вычислении объёма.

Для доказательства цилиндр сопоставляют с прямой призмой, имеющей такую же площадь основания и такую же высоту. У призмы уже известна формула объёма V = Sh, поэтому достаточно установить, что выбранные тела действительно занимают одинаковые объёмы. Сравнение с призмой удобно ещё и потому, что её сечения легко описывать и вычислять.

Проведём через оба тела сечения плоскостями, параллельными основаниям. Любое такое сечение цилиндра является кругом, равным его основанию: расстояние от центра и радиус не меняются по высоте. У призмы сечение будет многоугольником, равным её основанию, потому что боковые рёбра призмы параллельны и не изменяют форму основания при переносе.

Значит, на каждом уровне площади соответствующих сечений равны: у цилиндра она равна S, и у призмы также равна S. Равенство только площадей оснований было бы недостаточным, поскольку форма тела между основаниями могла бы меняться. Здесь же совпадение площадей установлено для всех параллельных оснований плоскостей на общей высоте.

По принципу Кавальери равновысокие тела с равными площадями сечений на каждом уровне имеют равные объёмы. Следовательно, объём цилиндра совпадает с объёмом выбранной призмы. Подставляя известную формулу призмы, получаем V = Sh для прямого цилиндра; если основание — круг радиуса r, то V = πr²h.

Сравнение прямого цилиндра и прямой призмы при доказательстве теоремы

Таблица показывает, какие характеристики тел должны совпасть для применения принципа Кавальери. Сначала сравните высоты, затем площади сечений на любом уровне. Последняя строка демонстрирует, почему формула призмы подходит и для цилиндра.

Разбор задач

Задача 1. Площадь основания прямого цилиндра равна 12 см², высота — 5 см. Найдём объём, используя теорему напрямую.

1. Записываем формулу: V = Sh.
2. Подставляем данные: V = 12 · 5 = 60 см³.
3. Проверяем единицы: площадь измеряется в квадратных сантиметрах, высота — в сантиметрах, поэтому объём получен в кубических сантиметрах.

Ответ: 60 см³.

Задача 2. Радиус основания цилиндра равен 3 см, высота — 8 см. Сначала найдём площадь круга, поскольку в условии дана не площадь основания, а радиус.

1. Вычисляем площадь основания: S = πr² = π · 3² = 9π см².
2. Применяем формулу объёма: V = Sh = 9π · 8 = 72π см³.
3. Сохраняем π в точном ответе, так как его десятичное приближение здесь не требуется.

Ответ: 72π см³.

Задача 3. Объём прямого цилиндра равен 150π см³, высота — 6 см. Требуется найти радиус основания, поэтому неизвестную величину выразим из основной формулы.

1. Находим площадь основания: S = V/h = 150π/6 = 25π см².
2. Приравниваем её площади круга: πr² = 25π, откуда r² = 25.
3. Радиус положителен, поэтому r = 5 см.

Ответ: 5 см.

Типичные ошибки

Подмена высоты образующей. У прямого цилиндра эти величины равны, но это нужно осознавать, а не подставлять длину без проверки. У наклонного цилиндра такое равенство неверно, поэтому сначала убедитесь, что цилиндр именно прямой.

Использование площади боковой поверхности. Иногда путают площадь развёртки боковой поверхности с площадью круга основания, потому что обе величины обозначают буквами и используют в задачах. В формуле V = Sh нужна только площадь основания; проверьте её единицы и форму фигуры.

Забывают квадрат радиуса. Площадь основания равна πr², а не πr и не πd. Чтобы проверить себя, вспомните размерность: площадь должна измеряться в квадратных единицах.

Неверное применение принципа Кавальери. Равенства площадей двух оснований недостаточно: сечения должны иметь равные площади на каждом уровне, а тела — одинаковую высоту. Перед применением принципа перечислите оба условия.

Связь с другими темами

До изучения темы нужно знать формулу объёма призмы и понимать, что такое площадь поперечного сечения тела. Эти знания дают основу для сравнения цилиндра с призмой.

Ключевым инструментом доказательства является принцип Кавальери: равновысокие тела с равными площадями сечений на каждом уровне имеют равные объёмы. Он связывает геометрические сечения с измерением объёма.

Формула цилиндра пригодится в задачах на объёмы тел вращения и составных тел. В сложном теле цилиндр часто рассматривают как отдельную часть, а затем складывают или вычитают объёмы.

Что запомнить

• Объём прямого цилиндра равен произведению площади основания на высоту.
• Формула объёма: V = Sh.
• Для основания-круга S = πr², поэтому V = πr²h.
• В прямом цилиндре высота равна длине образующей.
• В доказательстве цилиндр сравнивают с прямой призмой той же высоты и с той же площадью основания.
• Принцип Кавальери применяют, когда площади соответствующих сечений равны на каждом уровне.