"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (углублённый уровень)", Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И.
Прямой цилиндр ограничен боковой поверхностью и двумя равными кругами в параллельных плоскостях. Чтобы вычислить, сколько пространства занимает это тело, достаточно знать площадь основания и расстояние между основаниями. Теорема утверждает: объём цилиндра равен произведению этих величин, V = Sh. Если основание круглое, формула принимает вид V = πR²h. Она помогает решать задачи о цилиндрических деталях, ёмкостях и других телах.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Прямой цилиндр — тело, ограниченное боковой поверхностью и двумя равными кругами, расположенными в параллельных плоскостях. Его ось перпендикулярна плоскостям оснований. Благодаря этому определению можно отличить прямой цилиндр от наклонного и использовать простые формулы для его сечений.
Основания цилиндра — равные круги, лежащие в параллельных плоскостях. Площадь одного основания обозначают буквой S; у второго круга площадь такая же. Это обозначение позволяет записать формулу объёма для цилиндра независимо от формы основания.
Высота цилиндра — расстояние между плоскостями его оснований, обозначаемое h. Она измеряется перпендикулярно основаниям, а не вдоль произвольного отрезка на боковой поверхности. Для прямого цилиндра высота также равна длине образующей, то есть отрезка боковой поверхности, соединяющего окружности оснований.
Объём цилиндра — величина, характеризующая пространство, занимаемое телом; его обозначают V. Чтобы найти объём, нужно учитывать и площадь основания, и расстояние, на которое тело продолжается от основания. Поэтому в теореме используются две величины: S и h.
Теорема утверждает: объём прямого цилиндра равен произведению площади основания на высоту, то есть V = Sh. Площадь показывает, сколько места занимает основание, а высота — насколько далеко тело продолжается от него. Если увеличить площадь основания в несколько раз при прежней высоте, объём увеличится во столько же раз; такой же вывод верен при изменении высоты.
Проведём внутри цилиндра плоскость, параллельную основаниям. Она пересекает боковую поверхность по окружности, а само сечение оказывается кругом, равным основанию. Причина в том, что прямой цилиндр образован параллельным переносом основания вдоль перпендикулярной ему оси: на любой высоте форма и размеры круга не меняются. Поэтому площадь такого сечения всегда равна S.
Для обоснования сравним цилиндр с прямой призмой, у которой высота такая же, а площадь основания равна S. У призмы сечения плоскостями, параллельными основанию, также равны основанию, поэтому их площади на соответствующей высоте равны S. Значит, на каждом уровне от нижнего основания до верхнего у двух тел совпадают площади сечений. Это сравнение нужно, чтобы применить принцип Кавальери, а не только заметить сходство фигур.
Принцип Кавальери гласит: если два тела заключены между параллельными плоскостями и площади их сечений каждой плоскостью, параллельной этим плоскостям, равны, то равны и объёмы тел. У цилиндра и выбранной призмы условия выполнены, значит, их объёмы одинаковы. Объём прямой призмы вычисляется как произведение площади основания на высоту, V = Sh. Следовательно, такое же выражение даёт объём прямого цилиндра.
Если основание цилиндра — круг радиуса R, его площадь равна S = πR². Подставим это выражение вместо S в общую формулу V = Sh: получим V = πR²h. В формуле радиус обязательно возводится в квадрат, а π — число примерно 3,14. Например, при вычислениях можно оставить ответ с π, если точное значение требуется сохранить.
| Тело | Площадь основания | Высота | Формула объёма |
|---|---|---|---|
| Прямой цилиндр с произвольным основанием | S | h | V = Sh |
| Прямой цилиндр с круглым основанием радиуса R | πR² | h | V = πR²h |
| Прямая призма | S | h | V = Sh |
Таблица помогает выбрать формулу по имеющимся данным. Если дана площадь основания, используйте V = Sh; если дан радиус круглого основания, сначала найдите πR². Для прямой призмы формула такая же, но доказательство теоремы для цилиндра опирается на равенство площадей сечений.
Здесь площадь основания уже известна, поэтому находить её заново не требуется. Используем теорему V = Sh. Перед вычислением проверим единицы: площадь задана в квадратных сантиметрах, высота — в сантиметрах, следовательно, результат получится в кубических сантиметрах.
Ответ: 60 см³. Проверка единиц подтверждает результат: см² · см = см³. Если бы в ответе получилось см², значит, единицы перемножили или записали неверно.
В этой задаче вместо площади основания дан радиус, поэтому сначала нужно найти площадь круга. Для этого используем S = πR², а затем умножаем полученную площадь на высоту. Такой порядок помогает не подменить площадь основания длиной радиуса.
Ответ: 72π см³, или примерно 226,2 см³. В точной записи π сохраняют, если не просят приближённое значение. Размерность также проверяется: см² умножили на см, поэтому ответ выражен в см³.
Теперь неизвестна высота, а объём и радиус известны. Подставим площадь круга πR² в формулу и выразим h: V = πR²h, значит, h = V / (πR²). После вычисления полезно подставить найденную высоту обратно в формулу, чтобы проверить, получается ли заданный объём.
Ответ: 8 см. При делении множитель π сокращается, поскольку он есть и в числителе, и в знаменателе. Проверка показывает, что найденная высота действительно подходит.
Одна из ошибок — подставить радиус вместо площади основания и записать V = Rh. Так происходит, когда забывают, что формула требует именно площадь, а радиус — лишь длина. Сначала вычислите S или сразу используйте V = πR²h. Проверьте размерности: произведение длины на длину даёт площадь, а для объёма нужна ещё одна длина.
Высоту иногда принимают за любую наклонную линию на боковой поверхности. У прямого цилиндра образующая перпендикулярна основаниям и равна высоте, поэтому в задаче эти значения могут совпадать. Но для наклонного цилиндра образующая не обязана быть высотой. Уточните, какой именно отрезок указан, и проверьте, что высота измерена перпендикулярно основаниям.
При вычислении площади круглого основания можно забыть возвести радиус в квадрат и получить πRh вместо πR²h. Ошибка возникает из-за того, что радиус виден в условии и его хочется сразу подставить в формулу. Перед вычислением отдельно запишите S = πR² и проверьте степень радиуса. Единицы площади должны быть квадратными, например см².
Неверно записывать результат в единицах площади или смешивать сантиметры с метрами без перевода. Это часто происходит, когда при вычислении проверяют только числа, но не размерность. Умножение площади на высоту должно дать кубические единицы, например см² · см = см³. Если исходные величины заданы в разных единицах, сначала приведите их к одной системе.
Для задач с круглым основанием нужно знать формулу площади круга S = πR². Она превращает общую теорему V = Sh в формулу объёма цилиндра V = πR²h. Если площадь основания уже дана, этот промежуточный расчёт не требуется.
Обоснование теоремы связывает объём цилиндра с объёмом прямой призмы и принципом Кавальери. Призма служит телом сравнения, потому что при одинаковой высоте и равных площадях оснований её параллельные сечения имеют такую же площадь. Принцип позволяет заключить, что равенство площадей сечений на всех уровнях означает равенство объёмов.
Формула объёма цилиндра пригодится при изучении конуса и других тел вращения, а также в прикладных задачах. Например, с её помощью можно оценить вместимость цилиндрической ёмкости или объём детали. В практических расчётах особенно важно согласовать единицы длины и правильно указать единицы объёма.
Как найти объём прямого цилиндра?
Умножьте площадь основания на высоту: V = Sh. Если основание — круг радиуса R, сначала найдите его площадь по формуле S = πR², поэтому V = πR²h.
Почему объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту?
Сечения прямого цилиндра плоскостями, параллельными основаниям, равны основаниям и имеют площадь S. У прямой призмы той же высоты и с равной площадью основания на каждой высоте площадь сечения такая же. По принципу Кавальери объёмы этих тел равны, а объём призмы равен Sh.
Какую площадь основания подставлять в формулу, если дан радиус?
Для круглого основания вычислите площадь круга: S = πR². Затем подставьте её в формулу V = Sh, получив V = πR²h.
Чем высота цилиндра отличается от его образующей?
Высота — это расстояние между плоскостями оснований. В прямом цилиндре образующая перпендикулярна основаниям, поэтому её длина равна высоте. У наклонного цилиндра образующая и высота могут быть разными.
В каких единицах записывают объём цилиндра?
Объём записывают в кубических единицах: например, в см³, м³ или дм³. Все исходные длины должны быть выражены в согласованных единицах, а площадь — в соответствующих квадратных единицах.
28. 1.Теорема об объеме прямого цилиндра
