§ 28. Объем прямого цилиндра

Определения и обозначения

Прямой цилиндр — тело, ограниченное двумя равными кругами и боковой поверхностью, соединяющей их окружности. Плоскости кругов параллельны, а боковые образующие перпендикулярны этим плоскостям. Такое расположение отличает прямой цилиндр от наклонного и позволяет связать его высоту с длиной образующей. Для вычисления объёма важно знать размеры основания и высоту.

Основания цилиндра — равные круги, лежащие в параллельных плоскостях. Каждый из них ограничивает цилиндр с одного конца, а их радиусы одинаковы. Обычно площадь одного основания обозначают Sосн, а радиус — r. Поскольку круги равны, площадь любого основания можно использовать в формуле объёма.

Высота цилиндра — расстояние между плоскостями его оснований. Его обозначают h и измеряют в единицах длины. В прямом цилиндре высота совпадает с длиной образующей — отрезка боковой поверхности, соединяющего соответствующие точки окружностей оснований. Это позволяет находить высоту не только как расстояние между плоскостями, но и по длине бокового отрезка.

Объём цилиндра — величина, характеризующая пространство, занимаемое телом. Его обозначают V и выражают в кубических единицах. Объём показывает, сколько единичных кубов можно было бы уложить внутри цилиндра, если бы тело состояло из таких кубов. Это понятие нужно, например, чтобы оценить вместимость сосуда.

Как это устроено

Объём прямого цилиндра находят по общему правилу: площадь основания умножают на высоту, V = Sосн · h. Представим, что цилиндр заполняют одинаковыми тонкими слоями, параллельными основаниям. Площадь каждого слоя равна площади основания, а все слои вместе занимают высоту h. Поэтому произведение площади одного слоя на общую высоту даёт объём всего тела.

Это правило можно обосновать сравнением цилиндра с прямой призмой той же высоты и с такой же площадью основания. На любой высоте горизонтальное сечение призмы имеет площадь Sосн. У цилиндра сечение, параллельное основаниям, тоже является кругом той же площади Sосн. По принципу равенства объёмов тел с одинаковой высотой и равными площадями параллельных сечений цилиндр имеет объём такой же призмы. А объём прямой призмы равен площади основания, умноженной на высоту.

Для цилиндра с круглым основанием площадь круга равна Sосн = πr². Подставляя это выражение в общую формулу, получаем V = πr²h. Здесь r — радиус основания, h — высота, а π — число, приблизительно равное 3,14. Радиус возводится в квадрат, потому что площадь основания — это площадь круга, а не длина его окружности.

Если объём уже известен, формулу можно преобразовать, выразив нужную величину. Высота равна h = V/Sосн, а для круглого основания h = V/(πr²). Площадь основания находится делением объёма на высоту: Sосн = V/h. Если нужно найти радиус, сначала получают r² = V/(πh), затем берут положительный квадратный корень: r = √(V/(πh)), поскольку длина радиуса не бывает отрицательной.

Перед вычислениями все линейные размеры приводят к одной единице: нельзя подставлять радиус в сантиметрах, а высоту в метрах. Это необходимо, потому что формула умножает квадрат длины на длину, и результат зависит от выбранной единицы. Если r и h заданы в метрах, объём получится в кубических метрах; если в сантиметрах — в кубических сантиметрах. Кубическая единица возникает из произведения трёх линейных множителей: r · r · h.

Величины и формулы для объёма прямого цилиндра

Сначала найдите, какие величины известны в условии, и выберите подходящую строку таблицы. Если дан диаметр, переведите его в радиус, прежде чем вычислять площадь круга. Затем проверьте, что длины выражены в одинаковых единицах и ответ записан в кубических.

Разбор задач

1. Радиус основания прямого цилиндра равен 3 см, высота — 5 см. Найдите его объём.

Известны радиус и высота, поэтому можно сразу применить формулу V = πr²h. Размеры заданы в сантиметрах, так что переводить их не требуется. Подстановка даст объём в кубических сантиметрах.

1. Запишем формулу: V = πr²h.
2. Подставим данные: V = π · 3² · 5.
3. Вычислим: V = π · 9 · 5 = 45π см³.

Ответ: 45π см³, или приблизительно 141,3 см³.

2. Объём цилиндра равен 200π см³, а радиус основания — 5 см. Найдите высоту.

Неизвестна высота, поэтому преобразуем формулу объёма, разделив обе её части на πr². Объём и радиус заданы в согласованных единицах: сантиметрах и кубических сантиметрах. Число π сокращается при подстановке, поэтому вычисление получается точным.

1. Выразим высоту: h = V/(πr²).
2. Подставим значения: h = 200π/(π · 5²).
3. Вычислим: h = 200π/(25π) = 8 см.

Ответ: 8 см.

3. Цилиндрический сосуд радиусом 0,2 м заполнен водой на высоту 0,6 м. Сколько литров воды в сосуде?

Вода занимает цилиндрическую часть сосуда с высотой 0,6 м, поэтому нужно найти объём именно этого слоя. Радиус и высота уже выражены в метрах, и объём сначала получится в кубических метрах. Для ответа в литрах используем соотношение 1 м³ = 1000 л.

1. Найдём объём воды: V = πr²h.
2. Подставим данные: V = π · 0,2² · 0,6 = 0,024π м³.
3. Переведём в литры: 0,024π · 1000 = 24π л ≈ 75,4 л.

Ответ: 24π л, или приблизительно 75,4 л.

Типичные ошибки

• Подставляют диаметр вместо радиуса. Ошибка возникает, потому что оба размера относятся к основанию круга, но в формуле площади стоит именно r². Если использовать диаметр без деления на два, площадь и объём окажутся в четыре раза больше. Проверьте условие: если дан диаметр d, сначала запишите r = d/2.
• Используют формулу V = 2πrh. Это выражение задаёт площадь боковой поверхности цилиндра, а не объём. Путаница возникает из-за похожих обозначений и наличия высоты в обеих задачах. Проверка: объём должен находиться умножением площади основания на высоту, то есть V = πr²h.
• Смешивают единицы длины. Например, подстановка r в сантиметрах и h в метрах приводит к бессмысленному численному результату. Причина — попытка использовать данные напрямую, не проверив их единицы. До вычислений переведите все размеры в сантиметры, метры или другую одну систему.
• Записывают объём в квадратных единицах. Квадратные единицы относятся к площади, а в формуле объёма умножаются площадь и длина. Поэтому единицы тоже перемножаются: см² · см = см³. Перед записью ответа убедитесь, что показатель степени у единицы измерения равен трём.

Связь с другими темами

Для вычисления объёма цилиндра нужно знать формулу площади круга и понимать, что называют основанием и высотой тела. Эти понятия связывают планиметрию с изучением объёмных фигур: площадь основания измеряется в квадратных единицах, а высота — в линейных. Формула V = Sосн · h пригодится и при работе с другими телами, например прямыми призмами.

Объём цилиндра используют в задачах о телах вращения и в практических расчётах. С его помощью определяют вместимость сосудов и резервуаров, а также количество вещества в цилиндрических ёмкостях. В прикладных задачах результат нередко нужно дополнительно перевести из кубических единиц в литры.

Что запомнить

• Объём прямого цилиндра равен произведению площади основания на высоту.
• Формула объёма: V = Sосн · h.
• Для круглого основания V = πr²h.
• В формуле r — радиус основания, а не его диаметр.
• Высота цилиндра — расстояние между плоскостями оснований.
• Объём выражают в кубических единицах.