"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (углублённый уровень)", Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И.
Векторное произведение двух векторов даёт новый вектор, а не число: он перпендикулярен обоим исходным, а его длина связана с площадью параллелограмма. В этом параграфе доказывается, что произведение суммы векторов на третий вектор можно раскрыть по слагаемым. Для доказательства записывают координаты произвольных векторов и сравнивают координаты обеих частей равенства. Затем из этого результата получают дистрибутивность и по второму множителю, учитывая, что при перестановке векторное произведение меняет знак.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Векторное произведение двух векторов — вектор, перпендикулярный обоим множителям; его длина равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах, а направление определяется правилом правой руки. Обозначают произведение a × b. Это определение помогает понять геометрический смысл результата и отличить векторное произведение от умножения, результатом которого служит число.
Дистрибутивность векторного умножения — равенство, по которому произведение суммы векторов на третий вектор равно сумме соответствующих произведений: (a + b) × c = a × c + b × c. Аналогичное правило действует, если сумма стоит во втором множителе. Оно позволяет раскрывать скобки в выражениях с векторными произведениями и упрощать вычисления.
Координаты векторного произведения — выражения для координат результата через координаты двух векторов в правом ортонормированном базисе, то есть в базисе из взаимно перпендикулярных единичных векторов с согласованной ориентацией. Если a = (a₁, a₂, a₃), b = (b₁, b₂, b₃), то a × b = (a₂b₃ − a₃b₂, a₃b₁ − a₁b₃, a₁b₂ − a₂b₁). Эта формула переводит геометрическое действие в вычисления с числами.
Чтобы доказать равенство для любых векторов, выбирают правый ортонормированный базис и обозначают координаты векторов произвольными буквами. В таком базисе каждый вектор однозначно задаётся тремя числами, поэтому равенство векторов достаточно проверить по трём координатам. Координаты не выбирают конкретными числами: именно произвольность позволяет получить общий результат.
Формула координат векторного произведения следует из его определения: направление результата перпендикулярно обоим множителям, а его длина определяется площадью параллелограмма. В правом ортонормированном базисе эти условия задают координаты через попарные произведения координат множителей. Например, первая координата равна a₂b₃ − a₃b₂, а остальные строятся по тому же циклическому порядку. Для доказательства дистрибутивности удобно применить готовую формулу к обеим частям равенства.
Рассмотрим (a + b) × c, где a = (a₁, a₂, a₃), b = (b₁, b₂, b₃), c = (c₁, c₂, c₃). Сначала складываем координаты: a + b = (a₁ + b₁, a₂ + b₂, a₃ + b₃). Затем подставляем координаты суммы и c в формулу произведения. Так, первая координата левой части равна (a₂ + b₂)c₃ − (a₃ + b₃)c₂.
Раскрывая скобки в первой координате, получаем a₂c₃ − a₃c₂ + b₂c₃ − b₃c₂. Во второй координате аналогично выходит a₃c₁ − a₁c₃ + b₃c₁ − b₁c₃, а в третьей — a₁c₂ − a₂c₁ + b₁c₂ − b₂c₁. В каждой координате отдельно сгруппированы слагаемые с координатами a и с координатами b.
Первые слагаемые в трёх координатах составляют вектор a × c, а вторые — b × c. Значит, найденные координаты совпадают с координатами a × c + b × c, и векторы равны. Так доказывается дистрибутивность по первому множителю для произвольных векторов. Для второго множителя используем перемену порядка: a × (b + c) = −((b + c) × a) = −(b × a + c × a) = a × b + a × c.
| Что доказываем | Левая часть | Правая часть | Основание перехода |
|---|---|---|---|
| Дистрибутивность по первому множителю | (a + b) × c | a × c + b × c | Координатная формула и раскрытие скобок |
| Дистрибутивность по второму множителю | a × (b + c) | a × b + a × c | Антикоммутативность и доказательство для первого множителя |
| Раскрытие координат суммы | (a₂ + b₂)c₃ − (a₃ + b₃)c₂ | a₂c₃ − a₃c₂ + b₂c₃ − b₃c₂ | Распределительный закон для чисел |
| Сопоставление координат результатов | Три раскрытые координаты | Координаты a × c плюс координаты b × c | Совпадение каждой координаты |
Таблица помогает проследить, какое равенство доказывается и на каком свойстве основан каждый переход. Для проверки сначала сравните формулы по отдельным координатам, затем убедитесь, что учтён порядок сомножителей. Во второй строке знак меняется именно из-за антикоммутативности.
Вычислим выражения для a = (1, 2, 0), b = (0, 1, 3), c = (2, −1, 1). Здесь важно не просто получить два результата, а проверить, что каждый из них получен по одной и той же формуле. Это наглядная проверка дистрибутивности для выбранных координат.
Складываем a + b = (1, 3, 3). По координатной формуле (a + b) × c = (3 · 1 − 3 · (−1), 3 · 2 − 1 · 1, 1 · (−1) − 3 · 2) = (6, 5, −7).
Отдельно считаем a × c = (2, −1, −5), а b × c = (4, 6, −2). Складываем: a × c + b × c = (6, 5, −7). Координаты совпали, как и предсказывает дистрибутивность.
Ответ: обе части равны (6, 5, −7).
Требуется доказать a × (b + c) = a × b + a × c. Напрямую переставлять множители нельзя: при перестановке произведение меняет знак. Поэтому дважды используем равенство a × b = −(b × a), а раскрытие суммы применяем к уже доказанной дистрибутивности по первому множителю.
Переставляем сомножители в левой части с учётом знака: a × (b + c) = −((b + c) × a). По дистрибутивности по первому множителю это равно −(b × a + c × a).
Раскрываем минус: −(b × a) − (c × a). Снова меняем порядок в каждом произведении: −(b × a) = a × b, а −(c × a) = a × c.
Ответ: a × (b + c) = a × b + a × c.
Пусть a = (a₁, a₂, a₃), b = (b₁, b₂, b₃), c = (c₁, c₂, c₃). Буквы обозначают произвольные координаты, поэтому доказательство не ограничивается отдельным числовым примером. Сравним координаты выражений (a + b) × c и a × c + b × c.
Складываем координаты a и b, затем применяем формулу произведения. Первая координата левой части: (a₂ + b₂)c₃ − (a₃ + b₃)c₂ = a₂c₃ − a₃c₂ + b₂c₃ − b₃c₂.
Вторая координата после раскрытия скобок равна a₃c₁ − a₁c₃ + b₃c₁ − b₁c₃. Третья равна a₁c₂ − a₂c₁ + b₁c₂ − b₂c₁. Каждая распадается на координату a × c и соответствующую координату b × c.
Ответ: все три координаты левой части совпадают с координатами правой, следовательно, (a + b) × c = a × c + b × c.
Считать векторное произведение перестановочным — значит забыть, что a × b = −(b × a). Такую ошибку допускают, перенося привычные свойства умножения чисел на векторы; проверяйте направление и знак при каждой перестановке.
Нельзя считать векторное произведение числом или без проверки переносить на него правила скалярного произведения. Векторное произведение даёт вектор, заданный тремя координатами, поэтому сверяйте не только величину, но и все координаты результата.
При раскрытии скобок легко потерять порядок сомножителей и знак, если в ходе вычислений их переставляют. Записывайте каждый переход отдельно и отмечайте, где используется антикоммутативность; затем проверьте знак каждого слагаемого.
Проверка равенства на одном наборе координат не доказывает его для всех векторов. Один пример подтверждает лишь частный случай, хотя он полезен для поиска вычислительной ошибки. Для общего доказательства обозначайте координаты произвольными буквами и сравнивайте все три координаты.
Для доказательства нужны координаты векторов в пространстве, сложение векторов и координатная формула векторного произведения. Также используется антикоммутативность: при перестановке множителей произведение меняет знак. Дистрибутивность помогает преобразовывать выражения с векторными произведениями и встречается в задачах на площади и взаимное расположение векторов. Поэтому она связывает координатные вычисления с геометрическим смыслом произведения.
Почему для доказательства рассматривают координаты векторов?
Координаты превращают векторное равенство в три равенства чисел, которые можно проверить непосредственно. Если равны все координаты векторов, то равны и сами векторы. Произвольные координаты позволяют доказать утверждение для любых векторов.
Нужно ли отдельно доказывать дистрибутивность по каждому множителю?
Достаточно доказать дистрибутивность по одному множителю, а вторую получить из неё с помощью антикоммутативности. При перестановке сомножителей произведение меняет знак, и это нужно явно учесть. Поэтому оба равенства верны, но их связь требует объяснения.
Почему нельзя поменять местами множители без изменения знака?
Векторное произведение антикоммутативно: a × b = −(b × a). Направление результата задаётся правилом правой руки, и при перестановке векторов оно меняется на противоположное. Поэтому порядок сомножителей влияет на знак.
Достаточно ли проверить равенство на одном примере?
Нет, один пример показывает только то, что равенство выполняется для выбранных координат. Для доказательства общего утверждения берут произвольные координаты и показывают равенство выражений при любых их значениях. Числовые примеры полезны как проверка вычислений.
Можно ли доказывать дистрибутивность геометрически, не используя координаты?
Геометрическое доказательство возможно, но нужно обосновать одновременно длину и направление результирующих векторов. Координатный способ сводит проверку к раскрытию скобок и сравнению трёх координат. В данном доказательстве он особенно прямой и универсальный.
36.3. Доказательство дистрибутивности векторного умножения
