36.2. Свойства векторного умножения

Определения и обозначения

Векторное произведение двух векторов a и b обозначают [a,b]. Это вектор, перпендикулярный обоим сомножителям, а его модуль равен |a| · |b| · sin α, где α — угол между векторами. Направление выбирают по ориентации пространства. Такое определение позволяет одновременно учитывать и геометрическое положение векторов, и площадь фигуры, построенной на них.

Векторные произведения [a,b] и [b,a] называют произведениями с переставленными сомножителями. При перестановке результат направлен в противоположную сторону: [b,a] = −[a,b]. Это свойство помогает упрощать выражения и не позволяет обращаться с векторным произведением как с обычным умножением чисел.

Нулевым векторным произведением называют результат, равный нулевому вектору. Он получается, например, при умножении вектора на самого себя: [a,a] = 0; то же верно для любых коллинеарных векторов. Это нужно учитывать, когда выражение упрощают или проверяют, может ли произведение быть ненулевым.

Как это устроено

Модуль векторного произведения равен |a| · |b| · sin α. Если взять за основание параллелограмма вектор a, то высота, опущенная к этому основанию, равна |b| · sin α: это перпендикулярная составляющая вектора b. Площадь равна произведению основания на высоту, то есть |a| · |b| · sin α. Поэтому модуль произведения совпадает с площадью параллелограмма на сомножителях.

Направление результата выбирают так, чтобы оно было перпендикулярно плоскости, в которой лежат сомножители. Правило правого винта задаёт, в какую из двух возможных сторон направлен этот перпендикуляр: если вращать винт от первого вектора ко второму, поступательное движение показывает направление произведения. При перестановке векторов вращение происходит в обратную сторону. Значит, длина результата сохраняется, а его направление меняется на противоположное.

Равенство [a+b,c] = [a,c] + [b,c] объясняется тем, что вектор a+b можно представить как последовательное сложение двух слагаемых, а произведение с фиксированным c учитывает вклад каждого из них. Геометрически это соответствует сложению ориентированных площадей параллелограммов, построенных на a и c, а также на b и c. Ориентация важна: если один вклад направлен противоположно другому, он учитывается со знаком минус. Аналогично произведение распределяется по сложению во втором сомножителе.

При умножении вектора a на число λ его длина умножается на |λ|, а знак числа задаёт направление: при λ < 0 вектор разворачивается на 180°. Поэтому [λa,b] = λ[a,b]; то же рассуждение для второго сомножителя даёт [a,λb] = λ[a,b]. Знак результата при отрицательном λ меняется вместе с направлением соответствующего вектора. Это правило позволяет выносить числа и раскрывать скобки.

Для произведения вектора на себя угол между сомножителями равен 0°, а sin 0° = 0, поэтому [a,a] = 0. Если два вектора коллинеарны, угол между ними равен 0° или 180°, и синус также равен нулю. Следовательно, их векторное произведение равно нулевому вектору, даже если оба вектора ненулевые. Причина в том, что параллельным векторам не соответствует параллелограмм ненулевой площади.

Основные свойства векторного произведения

При преобразовании выражения сначала раскрой скобки по распределительности, затем вынеси числовые множители и приведи подобные произведения. Если нужно поменять сомножители местами, обязательно измени знак. Геометрическую формулу для модуля применяй отдельно: она помогает найти площадь или проверить полученный результат.

Разбор задач

Задача 1

Найти [b,a], если [a,b] = c. Нужно выразить заданное произведение через известное, не вычисляя сами векторы. Здесь меняется только порядок сомножителей. Поэтому достаточно применить правило перестановки и учесть изменение направления.

1. Записываем свойство: [b,a] = −[a,b].
2. Подставляем заданное равенство [a,b] = c.
3. Получаем [b,a] = −c.

Ответ: [b,a] = −c.

Задача 2

Раскрыть выражение [a+b, 2c−d] через векторные произведения отдельных векторов. Сначала разделим сумму в первом сомножителе, сохраняя второй сомножитель. Затем раскроем каждое полученное произведение по второму сомножителю и вынесем коэффициент 2. Такой порядок помогает не потерять знак перед d.

1. [a+b, 2c−d] = [a, 2c−d] + [b, 2c−d].
2. Раскрываем скобки: [a,2c] − [a,d] + [b,2c] − [b,d].
3. Выносим число: 2[a,c] − [a,d] + 2[b,c] − [b,d].

Ответ: 2[a,c] − [a,d] + 2[b,c] − [b,d]. Проверка знаков проста: минус перед d сохраняется при раскрытии обоих произведений. Число 2 выносится только из произведений с c.

Задача 3

В параллелограмме ABCD известны векторы AB и AD. Выразить через их векторные произведения произведение диагоналей AC и BD и определить его модуль. Обозначим AB = u и AD = v, тогда диагонали выражаются через стороны. После раскрытия произведения взаимные произведения сторон сократятся с учётом перемены порядка.

1. AC = u + v, а BD = v − u.
2. [AC,BD] = [u+v,v−u] = [u,v] − [u,u] + [v,v] − [v,u].
3. Так как [u,u] = [v,v] = 0, а [v,u] = −[u,v], получаем [AC,BD] = 2[u,v].
4. Берём модуль: |[AC,BD]| = 2|[u,v]|. Модуль [u,v] равен площади параллелограмма ABCD.

Ответ: [AC,BD] = 2[AB,AD], а его модуль равен удвоенной площади параллелограмма ABCD.

Типичные ошибки

Считать векторное произведение коммутативным — значит писать [a,b] = [b,a]. Так переносят на него привычное правило умножения чисел и забывают о направлении: при перестановке знак меняется. Проверь себя по формуле [a,b] = −[b,a] или представь, куда направит правый винт при обратном вращении.

При раскрытии выражений иногда раскрывают только одну скобку или обращаются с векторным произведением как с обычным числовым произведением. Причина — попытка применить знакомые правила без проверки каждого сомножителя. Распределяй произведение отдельно по первой и второй суммам, а числа выноси по формуле [λa,b] = λ[a,b]. Для самопроверки раскрой выражение в два шага, как в примере.

Неверно утверждать, что произведение равно нулю только при наличии нулевого сомножителя. Коллинеарные ненулевые векторы тоже дают нулевой результат: синус угла между ними равен нулю. Проверь взаимное расположение векторов и вспомни условие |[a,b]| = |a| · |b| · sin α.

Ещё одна ошибка — принимать модуль произведения за |a| · |b| и забывать синус угла. Такое упрощение верно лишь для перпендикулярных сомножителей, когда sin α = 1. Для проверки найди угол между векторами и подставь его синус; при коллинеарности результат должен быть нулевым.

Связь с другими темами

Для работы с векторным произведением нужны понятия угла между векторами, длины, коллинеарности и правила сложения векторов. Формула модуля связывает векторы с площадью параллелограмма и применяется в задачах на площади и геометрию в пространстве. В стереометрии произведение используют, чтобы получить вектор нормали — перпендикуляр к плоскости; это также один из инструментов координатного метода.

Что запомнить

• Векторное произведение перпендикулярно обоим сомножителям.
• Его модуль равен произведению модулей сомножителей на синус угла между ними.
• Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма на этих векторах.
• [a,b] = −[b,a].
• Векторное произведение распределительно относительно сложения.
• [a,a] = 0; произведение коллинеарных векторов также равно нулю.