36.1. Определение векторного произведения векторов

Определения и обозначения

Векторное произведение двух векторов — это вектор, перпендикулярный каждому из них, длина которого равна произведению длин векторов на синус угла между ними. Направление результата задаётся правилом правой руки. Это определение позволяет получить из двух векторов пространства третий и определить как его длину, так и направление.

Правило правой руки помогает установить направление векторного произведения. Если расположить пальцы правой руки так, чтобы при их сгибании переходить от первого вектора ко второму на меньший угол, большой палец покажет направление результата. Правило нужно потому, что одного значения длины недостаточно: у перпендикулярного к исходным векторам направления есть два противоположных варианта.

Для векторов a и b произведение обозначают a × b. Символ × здесь означает именно векторное произведение, а не обычное умножение чисел: результатом будет вектор. Такое обозначение удобно использовать в формулах, но порядок букв имеет значение, поскольку он влияет на направление результата.

Угол α в формуле |a × b| = |a||b| sin α выбирают от 0 до π. Это обычный угол между направлениями векторов, который измеряется в радианах или градусах. Указанный промежуток помогает однозначно определить угол и правильно подставить его синус в формулу.

Как это устроено

Векторное произведение задают для двух векторов пространства, а не для двух чисел. Результат — новый вектор, поэтому при его описании нужны и длина, и направление. Такой объект позволяет сохранить пространственную информацию, которую нельзя выразить одним числом.

Если исходные векторы неколлинеарны, они лежат в одной плоскости и задают её направление. Результат выбирают перпендикулярно этой плоскости, а из двух возможных направлений выбирают одно по правилу правой руки. Поэтому изменение порядка исходных векторов приводит к выбору противоположного направления.

Модуль произведения вычисляют по формуле |a × b| = |a||b| sin α. Причина появления синуса связана с высотой параллелограмма: если взять |a| за основание, высота, опущенная на него, равна |b| sin α. Следовательно, произведение основания на высоту, то есть площадь параллелограмма, совпадает с модулем векторного произведения.

Для параллельных векторов угол между ними равен 0 или π, поэтому sin α = 0 и модуль произведения равен нулю. Если один из векторов нулевой, произведение длин также равно нулю; направление нулевого вектора определять не требуется. В обоих случаях результатом служит нулевой вектор, и отдельное направление у него не указывают.

При перестановке множителей получается равный по длине, но противоположно направленный вектор: b × a = −(a × b). Модуль не меняется, потому что угол между векторами и произведение их длин остаются прежними. Направление меняется из-за того, что правило правой руки применяется в обратном порядке.

Определение и простые случаи векторного произведения

Сначала определите, к какой строке таблицы относится задача: особые случаи позволяют сразу узнать результат. В общем случае подставьте длины и синус угла в формулу для модуля. Если требуется указать направление, отдельно примените правило правой руки.

Разбор задач

Задача 1. Векторы a и b имеют длины 3 и 4, а угол между ними равен 90°. Найдите модуль a × b.

1. Используем формулу |a × b| = |a||b| sin α, потому что известны обе длины и угол.
2. Подставляем значения: |a × b| = 3 · 4 · sin 90°.
3. Так как sin 90° = 1, получаем 12 · 1 = 12.

Ответ: 12.

Задача 2. Длины векторов a и b равны 5 и 2, угол между ними — 30°. Найдите площадь параллелограмма и модуль a × b.

1. Площадь параллелограмма равна модулю векторного произведения, поэтому достаточно найти |a × b|.
2. Подставляем в формулу: |a × b| = 5 · 2 · sin 30°.
3. Учитываем, что sin 30° = ½: получаем 10 · ½ = 5. Число 5 является и искомой площадью, и модулем произведения.

Ответ: площадь равна 5, |a × b| = 5.

Задача 3. Даны неколлинеарные векторы a и b. Определите направление a × b и выразите b × a через a × b.

1. Поскольку векторы неколлинеарны, они задают плоскость, а произведение направлено перпендикулярно ей.
2. Чтобы выбрать одно из двух противоположных направлений, согните пальцы правой руки от a ко второму вектору b на меньший угол. Большой палец покажет направление a × b.
3. При переходе от b к a направление меняется на противоположное, а длина остаётся прежней.

Ответ: a × b перпендикулярен плоскости a и b и направлен по правилу правой руки; b × a = −(a × b).

Типичные ошибки

Считать векторное произведение числом — значит смешивать сам результат и его модуль. Так ошибаются, потому что в формуле вычисления появляется числовое значение |a||b| sin α. Проверьте себя: если просят указать направление или сам результат, ответ должен быть вектором, а число подходит только для модуля.

Перемножать только длины, забывая sin α, нельзя: тогда не учитывается угол между векторами. Например, при параллельных векторах такая ошибка дала бы ненулевой результат, хотя произведение должно быть нулевым. Проверьте формулу и подставьте подходящий угол: синус при 0 или π равен нулю.

Утверждение a × b = b × a неверно: при перестановке множителей меняется направление. Ошибку допускают, принимая векторное произведение за обычное умножение, где порядок множителей не важен. Для проверки запишите b × a = −(a × b) и убедитесь, что речь идёт о противоположных векторах.

Направление результата нельзя помещать в плоскость исходных векторов: оно перпендикулярно этой плоскости. Путаница возникает, когда пытаются указать в плоскости направление от одного исходного вектора к другому. Проверьте направление по условию перпендикулярности обоим векторам и примените правило правой руки.

Связь с другими темами

Для работы с векторным произведением нужны длина вектора, угол между векторами и синус угла. Эти понятия позволяют вычислить модуль результата, а перпендикулярность помогает понять его направление в пространстве. Правило правой руки выбирает одно из двух возможных направлений.

Модуль произведения связан с площадью параллелограмма, поэтому понятие пригодится при вычислении площадей в пространстве. В дальнейшем оно используется и в геометрических, и в физических задачах, где важно учитывать направление величины. Освоение определения помогает не путать такой вектор с числовым результатом скалярного произведения.

Что запомнить

• Векторное произведение обозначают a × b.
• Модуль произведения равен |a||b| sin α.
• Вектор a × b перпендикулярен обоим исходным векторам.
• Направление произведения определяют правилом правой руки.
• Для параллельных векторов векторное произведение равно нулю.
• При перестановке множителей знак меняется: b × a = −(a × b).